Номер 4, страница 79 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 3. Динамика. Параграф 15. Третий закон Ньютона. Принцип относительности Галилея. Задания и упражнения - номер 4, страница 79.

Условие.

* 4. Деревянный ящик ставят на ленточный подъёмник, образующий с горизонтом угол $\alpha$ (рис. 56). Определите модуль максимального ускорения ящика, если коэффициент трения равен $\mu$. Считать, что при движении лента не прогибается.

Рис. 56

Решение.

Дано:

Угол наклона подъемника: $\alpha$

Коэффициент трения: $\mu$

Найти:

Модуль максимального ускорения ящика: $a_{max}$

Решение:

На ящик, находящийся на наклонной плоскости, действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ и сила трения $\vec{F}_{тр}$.

Введем систему координат, направив ось $OX$ вдоль наклонной плоскости вверх, а ось $OY$ — перпендикулярно ей.

Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение:

$m\vec{a} = m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр}$

Запишем это уравнение в проекциях на оси координат:

Проекция на ось $OY$: $N - mg \cos(\alpha) = 0$, откуда сила нормальной реакции $N = mg \cos(\alpha)$.

Проекция на ось $OX$: $ma = F_{тр} - mg \sin(\alpha)$.

Ящик будет двигаться вместе с лентой без проскальзывания, пока сила трения является силой трения покоя. Максимальная сила трения покоя по модулю равна $F_{тр, max} = \mu N = \mu mg \cos(\alpha)$. Эта сила может быть направлена как вверх, так и вниз по наклонной плоскости, в зависимости от направления ускорения ленты. Таким образом, проекция силы трения на ось $OX$ может принимать значения в диапазоне: $-\mu mg \cos(\alpha) \le F_{тр} \le \mu mg \cos(\alpha)$.

Рассмотрим два предельных случая, соответствующих максимальному ускорению.

1. Максимальное ускорение, направленное вверх ($a_{up, max}$).

В этом случае сила трения покоя направлена вверх и максимальна по величине: $F_{тр} = F_{тр, max} = \mu mg \cos(\alpha)$.

Из уравнения для оси $OX$ получаем:

$ma_{up, max} = \mu mg \cos(\alpha) - mg \sin(\alpha)$

$a_{up, max} = g(\mu \cos(\alpha) - \sin(\alpha))$

2. Максимальное ускорение, направленное вниз ($a_{down, max}$).

В этом случае сила трения покоя направлена вниз и максимальна по величине: $F_{тр} = -F_{тр, max} = -\mu mg \cos(\alpha)$.

Из уравнения для оси $OX$ получаем:

$ma_{down, max} = -\mu mg \cos(\alpha) - mg \sin(\alpha)$

$a_{down, max} = -g(\mu \cos(\alpha) + \sin(\alpha))$

В задаче требуется найти модуль максимального ускорения, то есть наибольшее из значений $|a_{up, max}|$ и $|a_{down, max}|$.

$|a_{up, max}| = |g(\mu \cos(\alpha) - \sin(\alpha))|$

$|a_{down, max}| = |-g(\mu \cos(\alpha) + \sin(\alpha))| = g(\mu \cos(\alpha) + \sin(\alpha))$

Поскольку все величины $g, \mu, \cos(\alpha), \sin(\alpha)$ являются неотрицательными (для $0 \le \alpha \le 90^\circ$), то очевидно, что $\mu \cos(\alpha) + \sin(\alpha) \ge |\mu \cos(\alpha) - \sin(\alpha)|$.

Следовательно, максимальный модуль ускорения ящика равен:

$a_{max} = g(\mu \cos(\alpha) + \sin(\alpha))$

Ответ: $a_{max} = g(\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha))$.