Номер 4, страница 84 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 3. Динамика. Параграф 16. Закон всемирного тяготения. Вопросы - номер 4, страница 84.

Условие.

4. На основе какого закона Ньютона можно сделать вывод об обратной пропорциональной зависимости гравитационной силы от квадрата расстояния между двумя взаимодействующими телами (материальными точками)?

Решение.

Вывод об обратной пропорциональной зависимости гравитационной силы от квадрата расстояния является ключевым положением закона всемирного тяготения, также открытого Ньютоном. Однако сам этот вывод Ньютон сделал, применив свой второй закон движения к анализу движения небесных тел.

Закон всемирного тяготения формулируется так:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

где $\text{F}$ – гравитационная сила, $m_1$ и $m_2$ – массы взаимодействующих тел, $\text{r}$ – расстояние между их центрами, а $\text{G}$ – гравитационная постоянная. Из этой формулы прямо следует, что сила $\text{F}$ обратно пропорциональна квадрату расстояния $r^2$.

Чтобы теоретически обосновать эту зависимость, Ньютон использовал следующую логическую цепочку:

1. Он рассмотрел движение планет вокруг Солнца, которое, как было установлено Кеплером, происходит по эллиптическим орбитам. Для упрощения можно рассмотреть круговую орбиту.

2. Тело, движущееся по окружности радиуса $\text{r}$ со скоростью $\text{v}$, должно иметь центростремительное ускорение, направленное к центру окружности, равное $a_c = \frac{v^2}{r}$.

3. Скорость движения по орбите можно выразить через период обращения $\text{T}$: $v = \frac{2\pi r}{T}$. Подставив это в формулу для ускорения, получаем: $a_c = \frac{(2\pi r/T)^2}{r} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$.

4. Из третьего закона Кеплера известно, что для всех планет, вращающихся вокруг Солнца, отношение квадрата периода обращения к кубу радиуса орбиты постоянно: $\frac{T^2}{r^3} = const$. Отсюда следует, что $T^2$ пропорционально $r^3$.

5. Подставляя эту пропорциональность в выражение для ускорения, Ньютон получил: $a_c \sim \frac{r}{T^2} \sim \frac{r}{r^3} = \frac{1}{r^2}$. Это означает, что ускорение планеты в поле тяготения Солнца обратно пропорционально квадрату расстояния до него.

6. Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на его ускорение ($F = ma$). Следовательно, сила, вызывающая это центростремительное ускорение (сила гравитации), также должна быть обратно пропорциональна квадрату расстояния: $F \sim a \implies F \sim \frac{1}{r^2}$.

Таким образом, именно второй закон Ньютона стал тем мостом, который позволил перейти от наблюдаемых законов движения планет (кинематики) к причине этого движения — силе (динамике), и установить ее зависимость от расстояния.

Ответ: Вывод об обратной пропорциональной зависимости гравитационной силы от квадрата расстояния был сделан Ньютоном на основе его второго закона движения ($F=ma$), который он применил для анализа движения планет, подчиняющегося законам Кеплера. Этот вывод стал центральной частью сформулированного им закона всемирного тяготения.