Номер 4, страница 87 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 3. Динамика. Параграф 16. Закон всемирного тяготения. Задания и упражнения - номер 4, страница 87.

Условие.

4. Искусственный спутник Земли обращается по круговой орбите на высоте, равной 600 км над поверхностью Земли. Чему равен модуль центростремительного ускорения этого спутника? Найдите частоту обращения спутника вокруг Земли.

Решение.

Дано:

Высота спутника над поверхностью Земли, $h = 600 \text{ км}$

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Масса Земли, $M_З \approx 5.97 \times 10^{24} \text{ кг}$

Радиус Земли, $R_З \approx 6400 \text{ км}$

Перевод в систему СИ:

$h = 600 \times 10^3 \text{ м} = 6 \times 10^5 \text{ м}$

$R_З = 6400 \times 10^3 \text{ м} = 6.4 \times 10^6 \text{ м}$

Найти:

Модуль центростремительного ускорения спутника, $a_ц$

Частоту обращения спутника, $\nu$

Решение:

Спутник движется по круговой орбите. Единственной силой, действующей на спутник, является сила всемирного тяготения со стороны Земли. Эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона:

$F_т = m a_ц$

где $F_т$ – сила тяготения, $\text{m}$ – масса спутника, $a_ц$ – его центростремительное ускорение.

Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения:

$F_т = G \frac{M_З m}{r^2}$

где $\text{r}$ – радиус орбиты спутника. Радиус орбиты равен сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты спутника над поверхностью $\text{h}$:

$r = R_З + h = 6.4 \times 10^6 \text{ м} + 0.6 \times 10^6 \text{ м} = 7.0 \times 10^6 \text{ м}$

Приравнивая два выражения для силы, получаем:

$m a_ц = G \frac{M_З m}{r^2}$

Сократив массу спутника $\text{m}$, можем найти модуль центростремительного ускорения:

$a_ц = G \frac{M_З}{r^2}$

Подставим числовые значения:

$a_ц = 6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \times \frac{5.97 \times 10^{24} \text{ кг}}{(7.0 \times 10^6 \text{ м})^2} \approx \frac{3.98 \times 10^{14}}{49 \times 10^{12}} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 8.13 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Теперь найдем частоту обращения спутника. Центростремительное ускорение также связано с угловой скоростью $\omega$ и частотой обращения $\nu$ следующими формулами:

$a_ц = \omega^2 r$ и $\omega = 2 \pi \nu$

Подставив второе уравнение в первое, получаем связь между центростремительным ускорением и частотой:

$a_ц = (2 \pi \nu)^2 r = 4 \pi^2 \nu^2 r$

Выразим отсюда частоту $\nu$:

$\nu^2 = \frac{a_ц}{4 \pi^2 r}$

$\nu = \sqrt{\frac{a_ц}{4 \pi^2 r}} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{a_ц}{r}}$

Подставим известные значения:

$\nu = \frac{1}{2 \times 3.14} \sqrt{\frac{8.13 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}{7.0 \times 10^6 \text{ м}}} \approx \frac{1}{6.28} \sqrt{1.16 \times 10^{-6} \text{ с}^{-2}} \approx \frac{1}{6.28} \times 1.08 \times 10^{-3} \text{ с}^{-1} \approx 0.172 \times 10^{-3} \text{ Гц}$

$\nu \approx 1.72 \times 10^{-4} \text{ Гц}$

Ответ: модуль центростремительного ускорения спутника равен $a_ц \approx 8.13 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$; частота обращения спутника $\nu \approx 1.72 \times 10^{-4} \text{ Гц}$.