Номер 5, страница 87 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 3. Динамика. Параграф 16. Закон всемирного тяготения. Задания и упражнения - номер 5, страница 87.

Условие.

5. Ракету запускают с поверхности Земли под углом $45^{\circ}$ к горизонту. Чему должен быть равен модуль её скорости, чтобы ракета попала в точку, находящуюся на высоте $\text{h}$ над поверхностью Земли и на расстоянии $\text{l}$ от места запуска? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение.

Дано:

Угол запуска ракеты к горизонту: $ \alpha = 45° $

Высота целевой точки: $ h $

Горизонтальное расстояние до целевой точки: $ l $

Ускорение свободного падения: $ g $

Найти:

Модуль начальной скорости ракеты: $ v_0 $

Решение:

Движение ракеты после запуска (пренебрегая сопротивлением воздуха) является движением тела, брошенного под углом к горизонту. Для описания этого движения введем систему координат: начало в точке запуска, ось Ox направлена горизонтально, ось Oy — вертикально вверх.

В этой системе координат движение можно разложить на два независимых движения: равномерное по горизонтали и равноускоренное по вертикали с ускорением $ \vec{g} $, направленным вниз.

Начальная скорость $ v_0 $ раскладывается на компоненты:

Горизонтальная составляющая: $ v_{0x} = v_0 \cos\alpha $

Вертикальная составляющая: $ v_{0y} = v_0 \sin\alpha $

Законы движения (уравнения для координат тела в зависимости от времени $ t $) имеют вид:

$ x(t) = v_{0x} t = (v_0 \cos\alpha) t $

$ y(t) = v_{0y} t - \frac{gt^2}{2} = (v_0 \sin\alpha) t - \frac{gt^2}{2} $

Согласно условию, в некоторый момент времени $ t $ ракета достигает точки с координатами $ x=l $ и $ y=h $. Подставим эти значения в уравнения:

1) $ l = (v_0 \cos\alpha) t $

2) $ h = (v_0 \sin\alpha) t - \frac{gt^2}{2} $

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $ v_0 $ и $ t $. Решим ее относительно $ v_0 $. Из первого уравнения выразим время полета $ t $:

$ t = \frac{l}{v_0 \cos\alpha} $

Подставим это выражение для $ t $ во второе уравнение:

$ h = v_0 \sin\alpha \left( \frac{l}{v_0 \cos\alpha} \right) - \frac{g}{2} \left( \frac{l}{v_0 \cos\alpha} \right)^2 $

Упростим полученное уравнение (уравнение траектории):

$ h = l \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{gl^2}{2 v_0^2 \cos^2\alpha} $

$ h = l \tan\alpha - \frac{gl^2}{2 v_0^2 \cos^2\alpha} $

Теперь выразим из этого уравнения $ v_0^2 $:

$ \frac{gl^2}{2 v_0^2 \cos^2\alpha} = l \tan\alpha - h $

$ v_0^2 = \frac{gl^2}{2 \cos^2\alpha (l \tan\alpha - h)} $

По условию задачи, угол $ \alpha = 45° $. Для этого угла имеем:

$ \tan(45°) = 1 $

$ \cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \cos^2(45°) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

Подставим эти значения в формулу для $ v_0^2 $:

$ v_0^2 = \frac{gl^2}{2 \cdot \frac{1}{2} (l \cdot 1 - h)} = \frac{gl^2}{l - h} $

Наконец, находим модуль начальной скорости $ v_0 $, извлекая квадратный корень:

$ v_0 = \sqrt{\frac{gl^2}{l - h}} = l \sqrt{\frac{g}{l - h}} $

Данное решение имеет физический смысл при условии $ l - h > 0 $, то есть $ l > h $.

Ответ:

Модуль скорости ракеты должен быть равен $ v_0 = l \sqrt{\frac{g}{l - h}} $.