Номер 6, страница 87 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 3. Динамика. Параграф 16. Закон всемирного тяготения. Задания и упражнения - номер 6, страница 87.

Условие.

6. Мяч брошен с горизонтальной площадки под углом $30^\circ$ к горизонту с начальной скоростью, модуль которой равен $30 \text{ м/с}$. Найдите время по-лёта мяча и расстояние по горизонтали от точки его бросания до места падения на площадку. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение.

Дано:

Угол броска к горизонту: $\alpha = 30^\circ$

Начальная скорость: $v_0 = 30 \text{ м/с}$

Ускорение свободного падения (примем): $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Время полёта $\text{t}$

Расстояние по горизонтали $\text{L}$

Решение:

Движение мяча представляет собой движение тела, брошенного под углом к горизонту. Его можно разложить на два независимых движения: равномерное движение вдоль горизонтальной оси (Ox) и равноускоренное движение вдоль вертикальной оси (Oy) с ускорением свободного падения $\text{g}$, направленным вниз.

Разложим вектор начальной скорости $v_0$ на его компоненты:

Горизонтальная составляющая скорости (остаётся постоянной на всём протяжении полёта, так как сопротивлением воздуха пренебрегаем): $v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$

Начальная вертикальная составляющая скорости: $v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$

Время полёта мяча

Время полёта определяется движением по вертикали. Поскольку мяч брошен с горизонтальной площадки и падает на неё же, его полное перемещение по вертикали равно нулю. Уравнение для вертикальной координаты $\text{y}$ в любой момент времени $\text{t}$ имеет вид:

$y(t) = v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$

В момент падения $y(t) = 0$. Следовательно:

$v_{0y}t - \frac{gt^2}{2} = 0$

$t(v_{0y} - \frac{gt}{2}) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $t_1 = 0$, что соответствует моменту броска, и $t_2 = \frac{2v_{0y}}{g}$, что соответствует моменту падения. Таким образом, время полёта $\text{t}$ равно $t_2$.

Подставим выражение для $v_{0y}$:

$t = \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g}$

Теперь подставим числовые значения:

$t = \frac{2 \cdot 30 \text{ м/с} \cdot \sin(30^\circ)}{10 \text{ м/с}^2} = \frac{60 \cdot 0.5}{10} \text{ с} = \frac{30}{10} \text{ с} = 3 \text{ с}$

Ответ: время полёта мяча составляет 3 с.

Расстояние по горизонтали от точки его бросания до места падения на площадку

Движение по горизонтали является равномерным. Расстояние по горизонтали (дальность полёта) $\text{L}$ равно произведению горизонтальной составляющей скорости на время полёта:

$L = v_{0x} \cdot t$

Подставим выражение для $v_{0x}$ и найденное ранее время $\text{t}$:

$L = (v_0 \cos(\alpha)) \cdot t$

Теперь подставим числовые значения:

$L = (30 \text{ м/с} \cdot \cos(30^\circ)) \cdot 3 \text{ с} = (30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 3 \text{ м} = 15\sqrt{3} \cdot 3 \text{ м} = 45\sqrt{3} \text{ м}$

Для практических целей можно вычислить приближенное значение, используя $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$L \approx 45 \cdot 1.732 \text{ м} \approx 77.94 \text{ м}$

Ответ: расстояние по горизонтали от точки бросания до места падения составляет $45\sqrt{3}$ м (приблизительно 77,94 м).