Номер 2, страница 87 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 3. Динамика. Параграф 16. Закон всемирного тяготения. Задания и упражнения - номер 2, страница 87.

Условие.

2. Модуль силы притяжения измеряют между двумя свинцовыми шарами. Во сколько раз изменится модуль этой силы, если шары будут изготовлены из стали? Плотность свинца принять равной $11,3 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$, плотность стали — $7,8 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$.

Решение.

Дано:

Плотность свинца: $\rho_{св} = 11,3 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$

Плотность стали: $\rho_{ст} = 7,8 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Во сколько раз изменится модуль силы притяжения, т.е. найти отношение сил $\frac{F_{ст}}{F_{св}}$ или $\frac{F_{св}}{F_{ст}}$.

Решение:

Модуль силы гравитационного притяжения между двумя телами определяется законом всемирного тяготения:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $m_1$ и $m_2$ — массы тел, $\text{r}$ — расстояние между центрами масс тел.

Массу каждого шара можно выразить через его плотность $\rho$ и объем $\text{V}$:

$m = \rho V$

Поскольку в задаче говорится о "двух шарах", будем считать, что они одинаковые, то есть $m_1 = m_2 = m$. Тогда формула для силы притяжения примет вид:

$F = G \frac{m \cdot m}{r^2} = G \frac{(\rho V)^2}{r^2} = G \frac{\rho^2 V^2}{r^2}$

Запишем это выражение для случая свинцовых шаров (индекс "св"):

$F_{св} = G \frac{\rho_{св}^2 V^2}{r^2}$

Теперь для случая, когда шары изготовлены из стали (индекс "ст"). При замене материала шаров их геометрические размеры (объем $\text{V}$) и расстояние между ними ($\text{r}$) не изменяются.

$F_{ст} = G \frac{\rho_{ст}^2 V^2}{r^2}$

Чтобы найти, во сколько раз изменится сила, найдем отношение силы притяжения стальных шаров к силе притяжения свинцовых шаров:

$\frac{F_{ст}}{F_{св}} = \frac{G \frac{\rho_{ст}^2 V^2}{r^2}}{G \frac{\rho_{св}^2 V^2}{r^2}} = \frac{\rho_{ст}^2}{\rho_{св}^2} = \left(\frac{\rho_{ст}}{\rho_{св}}\right)^2$

Подставим числовые значения плотностей:

$\frac{F_{ст}}{F_{св}} = \left(\frac{7,8 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3}{11,3 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3}\right)^2 = \left(\frac{7,8}{11,3}\right)^2 \approx (0,69)^2 \approx 0,476$

Это означает, что новая сила составляет примерно 0,476 от старой. Чтобы ответить на вопрос "во сколько раз изменится", можно найти обратное отношение, которое покажет, во сколько раз сила уменьшится.

$\frac{F_{св}}{F_{ст}} = \left(\frac{11,3}{7,8}\right)^2 \approx (1,4487)^2 \approx 2,098... \approx 2,1$

Таким образом, при замене свинцовых шаров на стальные такого же размера модуль силы притяжения между ними уменьшится.

Ответ: модуль силы притяжения уменьшится примерно в 2,1 раза.