Номер 3, страница 84 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 3. Динамика. Параграф 16. Закон всемирного тяготения. Вопросы - номер 3, страница 84.

Условие.

3. Покажите, что отношение модулей центростремительных ускорений планет равно отношению квадратов радиусов их круговых орбит.

Решение.

Дано:
Планета 1: радиус круговой орбиты $R_1$, модуль центростремительного ускорения $a_1$.
Планета 2: радиус круговой орбиты $R_2$, модуль центростремительного ускорения $a_2$.
Обе планеты вращаются вокруг одной и той же звезды массой $\text{M}$.

Найти:
Показать соотношение между отношением ускорений $\frac{a_1}{a_2}$ и радиусами орбит $R_1$ и $R_2$.

Решение:

Движение планеты по круговой орбите происходит под действием силы всемирного тяготения со стороны звезды. Эта сила является центростремительной и сообщает планете центростремительное ускорение $a_{цс}$.

Согласно второму закону Ньютона, центростремительная сила, действующая на планету массой $\text{m}$, равна:

$F_{цс} = m \cdot a_{цс}$

Сила гравитационного притяжения между звездой массой $\text{M}$ и планетой массой $\text{m}$ на расстоянии $\text{R}$ (радиус орбиты) определяется законом всемирного тяготения:

$F_{грав} = G \frac{M m}{R^2}$

Поскольку гравитационная сила выполняет роль центростремительной ($F_{цс} = F_{грав}$), мы можем приравнять правые части этих уравнений:

$m \cdot a_{цс} = G \frac{M m}{R^2}$

Сократив массу планеты $\text{m}$, мы получим выражение для модуля центростремительного ускорения:

$a_{цс} = \frac{GM}{R^2}$

Как видно из формулы, центростремительное ускорение планеты не зависит от ее собственной массы, а определяется только массой центрального тела (звезды) и радиусом орбиты.

Применим полученную формулу для двух рассматриваемых планет:

Для первой планеты: $a_1 = \frac{GM}{R_1^2}$

Для второй планеты: $a_2 = \frac{GM}{R_2^2}$

Теперь найдем отношение модулей их центростремительных ускорений, разделив первое выражение на второе:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{GM/R_1^2}{GM/R_2^2}$

После сокращения гравитационной постоянной $\text{G}$ и массы звезды $\text{M}$ получаем итоговое соотношение:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1/R_1^2}{1/R_2^2} = \frac{R_2^2}{R_1^2} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2$

Полученный результат показывает, что отношение модулей центростремительных ускорений планет равно обратному отношению квадратов радиусов их круговых орбит. Таким образом, формулировка в условии задачи ("равно отношению квадратов радиусов") является неточной.

Ответ:

Доказано, что отношение модулей центростремительных ускорений планет, вращающихся по круговым орбитам вокруг одной звезды, равно обратному отношению квадратов радиусов их орбит: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{R_2^2}{R_1^2}$.