Номер 2, страница 84 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 3. Динамика. Параграф 16. Закон всемирного тяготения. Вопросы - номер 2, страница 84.

Условие.

2. Какую связь между периодами обращения планет и радиусами их орбит выражает третий закон Кеплера?

Решение.

2. Третий закон Кеплера устанавливает количественную связь между периодами обращения планет вокруг центрального тела (например, Солнца) и размерами их орбит. Закон формулируется следующим образом: квадраты сидерических периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их эллиптических орбит.

Для двух планет, вращающихся вокруг одного и того же центрального тела, это соотношение можно записать в виде формулы:

$ \frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3} $

где $T_1$ и $T_2$ — это периоды обращения двух планет, а $a_1$ и $a_2$ — большие полуоси их орбит.

Из этой формулы следует, что для всех планет данной планетной системы отношение квадрата периода обращения к кубу большой полуоси орбиты является постоянной величиной:

$ \frac{T^2}{a^3} = \text{const} $

В частном случае, который часто используется для упрощения, когда орбиты планет рассматриваются как круговые, большая полуось $\text{a}$ заменяется радиусом орбиты $\text{R}$. Тогда закон принимает вид:

$ \frac{T^2}{R^3} = \text{const} $

Таким образом, чем дальше планета находится от звезды, тем больше времени ей требуется, чтобы совершить один полный оборот вокруг неё, причем эта зависимость нелинейная.

Ответ: Третий закон Кеплера выражает связь, согласно которой отношение квадрата периода обращения планеты ($\text{T}$) к кубу большой полуоси её орбиты ($\text{a}$) есть величина постоянная для всех планет, вращающихся вокруг одного и того же центрального тела. Математически это записывается как $ \frac{T^2}{a^3} = \text{const} $. Для орбит, близких к круговым, можно использовать радиус орбиты $\text{R}$ вместо большой полуоси: $ \frac{T^2}{R^3} = \text{const} $.