Номер 4, страница 114 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 4. Законы сохранения в механике. Параграф 21. Закон сохранения импульса. Реактивное движение. Задания и упражнения - номер 4, страница 114.

Условие.

4. Шар 1 массой $m_1$, имеющий скорость $\vec{v}_1$, налетел на покоящийся шар 2 массой $m_2$ ($m_2 > m_1$). В результате удара шар 1 стал двигаться перпендикулярно направлению своего первоначального движения со скоростью $\vec{v}_1'$ (рис. 81). Найдите модуль скорости движения шара 2 после соударения. Трением при движении пренебречь.

Рис. 81

Решение.

Дано:

Масса первого шара: $m_1$

Начальная скорость первого шара: $\vec{v}_1$

Масса второго шара: $m_2$

Начальная скорость второго шара: $\vec{v}_2 = 0$

Конечная скорость первого шара: $\vec{v}_1'$

Условие: $\vec{v}_1' \perp \vec{v}_1$

Найти:

Модуль скорости второго шара после соударения: $v_2'$

Решение:

Поскольку трением при движении можно пренебречь, а внешние силы (сила тяжести и сила реакции опоры) уравновешивают друг друга, систему из двух шаров можно считать замкнутой. Для такой системы выполняется закон сохранения импульса.

Запишем закон сохранения импульса в векторной форме:

$\vec{p}_{до} = \vec{p}_{после}$

где $\vec{p}_{до}$ – суммарный импульс системы до соударения, а $\vec{p}_{после}$ – суммарный импульс системы после соударения.

До соударения второй шар покоился ($\vec{v}_2 = 0$), поэтому начальный импульс системы равен импульсу первого шара:

$\vec{p}_{до} = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{v}_1$

После соударения импульс системы равен векторной сумме импульсов двух шаров:

$\vec{p}_{после} = m_1\vec{v}_1' + m_2\vec{v}_2'$

Приравнивая импульсы системы до и после соударения, получаем:

$m_1\vec{v}_1 = m_1\vec{v}_1' + m_2\vec{v}_2'$

Выразим из этого векторного уравнения импульс второго шара после соударения:

$m_2\vec{v}_2' = m_1\vec{v}_1 - m_1\vec{v}_1'$

Для нахождения модуля скорости $v_2'$ найдем модуль вектора $m_2\vec{v}_2'$. По условию задачи, вектор конечной скорости первого шара $\vec{v}_1'$ перпендикулярен вектору его начальной скорости $\vec{v}_1$. Следовательно, векторы импульсов $m_1\vec{v}_1$ и $m_1\vec{v}_1'$ также взаимно перпендикулярны.

Вектор $m_2\vec{v}_2'$ является векторной разностью двух взаимно перпендикулярных векторов. Модуль такого вектора можно найти по теореме Пифагора, рассматривая векторы $m_1\vec{v}_1$ и $-m_1\vec{v}_1'$ как катеты прямоугольного треугольника, а вектор $m_2\vec{v}_2'$ — как его гипотенузу.

Модуль, возведенный в квадрат, будет равен:

$|m_2\vec{v}_2'|^2 = |m_1\vec{v}_1|^2 + |-m_1\vec{v}_1'|^2$

$(m_2v_2')^2 = (m_1v_1)^2 + (m_1v_1')^2$

где $v_1$, $v_1'$ и $v_2'$ — модули соответствующих скоростей.

Раскроем скобки и вынесем $m_1^2$ за скобки в правой части:

$m_2^2 (v_2')^2 = m_1^2 v_1^2 + m_1^2 (v_1')^2 = m_1^2 (v_1^2 + (v_1')^2)$

Выразим $(v_2')^2$:

$(v_2')^2 = \frac{m_1^2}{m_2^2}(v_1^2 + (v_1')^2)$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти модуль скорости $v_2'$:

$v_2' = \sqrt{\frac{m_1^2}{m_2^2}(v_1^2 + (v_1')^2)} = \frac{m_1}{m_2}\sqrt{v_1^2 + (v_1')^2}$

Ответ: Модуль скорости движения шара 2 после соударения равен $v_2' = \frac{m_1}{m_2}\sqrt{v_1^2 + (v_1')^2}$.