Номер 4, страница 112 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 4. Законы сохранения в механике. Параграф 21. Закон сохранения импульса. Реактивное движение. Вопросы - номер 4, страница 112.

Условие.

4. На основе каких законов динамики можно получить закон сохранения импульса?

Решение.

Закон сохранения импульса является следствием двух фундаментальных законов динамики Ньютона: второго и третьего.

Решение

Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух взаимодействующих тел. Замкнутая система — это система, на которую не действуют внешние силы, или их векторная сумма равна нулю. Тела в такой системе могут взаимодействовать только друг с другом.

Пусть первое тело действует на второе с силой $\vec{F}_{12}$, а второе тело действует на первое с силой $\vec{F}_{21}$. Согласно третьему закону Ньютона, эти силы равны по модулю и противоположны по направлению:

$\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$

Теперь применим второй закон Ньютона в импульсной форме к каждому из тел. Второй закон Ньютона гласит, что сила, действующая на тело, равна скорости изменения его импульса:

$\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$

Для первого тела, на которое действует сила $\vec{F}_{21}$, изменение его импульса $\vec{p}_1$ будет:

$\vec{F}_{21} = \frac{d\vec{p}_1}{dt}$

Для второго тела, на которое действует сила $\vec{F}_{12}$, изменение его импульса $\vec{p}_2$ будет:

$\vec{F}_{12} = \frac{d\vec{p}_2}{dt}$

Подставим эти выражения в уравнение третьего закона Ньютона:

$\frac{d\vec{p}_2}{dt} = -\frac{d\vec{p}_1}{dt}$

Перенесём все члены в одну сторону уравнения:

$\frac{d\vec{p}_1}{dt} + \frac{d\vec{p}_2}{dt} = 0$

Используя свойство производной суммы, получим:

$\frac{d(\vec{p}_1 + \vec{p}_2)}{dt} = 0$

Это уравнение означает, что производная по времени от суммарного импульса системы $(\vec{p}_1 + \vec{p}_2)$ равна нулю. Это возможно только в том случае, если величина, от которой берется производная, является постоянной (константой).

$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 = \text{const}$

Таким образом, мы получили, что полный (суммарный) импульс замкнутой системы двух тел сохраняется, то есть не изменяется со временем. Этот вывод обобщается на систему из любого числа тел. В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, есть величина постоянная.

Ответ: Закон сохранения импульса можно получить на основе второго и третьего законов Ньютона.