Номер 5, страница 179 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 6. Статика. Законы гидро- и аэростатики. Параграф 32. Давление. Закон Паскаля. Закон Архимеда. Задания и упражнения - номер 5, страница 179.

Условие.

5. В воде плавает льдина толщиной 60 см. Определите высоту её надводной части. Плотность воды $\rho_\text{в}$ принять равной $1000 \text{ кг/м}^3$, плотность льда $\rho_\text{л} = 900 \text{ кг/м}^3$.

Решение.

Дано:

$H = 60$ см

$ρ_в = 1000$ кг/м³

$ρ_л = 900$ кг/м³

$H = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$

Найти:

$h_{надв}$ - ?

Решение:

Поскольку льдина плавает на поверхности воды, она находится в равновесии. Это означает, что действующая на нее сила тяжести $F_т$ уравновешена выталкивающей силой Архимеда $F_A$.

Условие плавания тела можно записать в виде равенства: $F_т = F_A$.

Сила тяжести, действующая на льдину, вычисляется по формуле $F_т = m_л g$, где $m_л$ — масса льдины, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения. Массу льдины можно выразить через её плотность $ρ_л$ и объём $V_л$: $m_л = ρ_л V_л$. Если обозначить площадь основания льдины как $\text{S}$, а её общую толщину как $\text{H}$, то её объём будет $V_л = S \cdot H$. Таким образом, формула для силы тяжести принимает вид:

$F_т = ρ_л S H g$

Выталкивающая сила (сила Архимеда) равна весу вытесненной жидкости: $F_A = ρ_в g V_{погр}$, где $ρ_в$ — плотность воды, а $V_{погр}$ — объём погружённой (подводной) части льдины. Этот объём можно выразить как $V_{погр} = S \cdot h_{погр}$, где $h_{погр}$ — высота погружённой части льдины. Тогда сила Архимеда равна:

$F_A = ρ_в S h_{погр} g$

Приравняем выражения для силы тяжести и силы Архимеда:

$ρ_л S H g = ρ_в S h_{погр} g$

В этом уравнении можно сократить площадь $\text{S}$ и ускорение свободного падения $\text{g}$:

$ρ_л H = ρ_в h_{погр}$

Из этого соотношения можно выразить высоту погружённой части льдины:

$h_{погр} = H \frac{ρ_л}{ρ_в}$

Высота надводной части льдины $h_{надв}$ — это разность между её полной толщиной $\text{H}$ и высотой погружённой части $h_{погр}$:

$h_{надв} = H - h_{погр}$

Подставим выражение для $h_{погр}$ в эту формулу:

$h_{надв} = H - H \frac{ρ_л}{ρ_в} = H \left(1 - \frac{ρ_л}{ρ_в}\right)$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу, предварительно переведя толщину льдины в систему СИ (метры):

$h_{надв} = 0.6 \text{ м} \cdot \left(1 - \frac{900 \text{ кг/м³}}{1000 \text{ кг/м³}}\right) = 0.6 \text{ м} \cdot (1 - 0.9) = 0.6 \text{ м} \cdot 0.1 = 0.06 \text{ м}$

Результат можно также выразить в сантиметрах: $0.06 \text{ м} = 6 \text{ см}$.

Ответ: высота надводной части льдины составляет $0.06$ м (или $\text{6}$ см).