Номер 4, страница 309 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Основы электродинамики. Глава 11. Электромагнитное поле. Напряжённость электростатического поля. Параграф 55. Линии напряжённости электростатического поля. Задания и упражнения - номер 4, страница 309.

Условие.

4. В двух вершинах равностороннего треугольника со стороной 20 см находятся два положительных точечных заряда. Модуль напряжённости электростатического поля, созданного этой системой зарядов в третьей вершине треугольника, равен 4500 Н/Кл. Найдите модули зарядов.

Решение.

Дано:

Равносторонний треугольник
Сторона треугольника, $a = 20$ см
Два положительных точечных заряда $q_1$ и $q_2$ в двух вершинах
Модуль напряженности поля в третьей вершине, $E = 4500$ Н/Кл
Коэффициент пропорциональности в законе Кулона, $k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Перевод в систему СИ:
$a = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

Модули зарядов $|q_1|$, $|q_2|$.

Решение:

Пусть два положительных точечных заряда $q_1$ и $q_2$ находятся в двух вершинах равностороннего треугольника. В третьей вершине мы измеряем напряженность электрического поля. Из-за симметрии задачи можно предположить, что заряды равны: $q_1 = q_2 = q$.

Напряженность поля, создаваемая одним точечным зарядом $\text{q}$ на расстоянии $\text{r}$, вычисляется по формуле:

$E_q = k \frac{|q|}{r^2}$

Расстояние от каждого из двух зарядов до третьей вершины равно стороне треугольника $\text{a}$. Поэтому модули напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в этой точке, равны:

$E_1 = k \frac{q}{a^2}$ и $E_2 = k \frac{q}{a^2}$

Так как заряды положительные, векторы напряженности $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ направлены от зарядов. Угол между этими векторами равен углу при вершине равностороннего треугольника, то есть $\alpha = 60^\circ$.

Результирующая напряженность $\vec{E}$ находится по принципу суперпозиции как векторная сумма полей $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$:

$\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$

Модуль результирующего вектора найдем по теореме косинусов:

$E = \sqrt{E_1^2 + E_2^2 + 2 E_1 E_2 \cos \alpha}$

Поскольку $E_1 = E_2$, обозначим их как $E_q$. Тогда:

$E = \sqrt{E_q^2 + E_q^2 + 2 E_q^2 \cos 60^\circ} = \sqrt{2E_q^2 + 2E_q^2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{2E_q^2 + E_q^2} = \sqrt{3E_q^2} = E_q \sqrt{3}$

Отсюда можем выразить напряженность поля от одного заряда:

$E_q = \frac{E}{\sqrt{3}}$

Теперь приравняем два выражения для $E_q$:

$k \frac{q}{a^2} = \frac{E}{\sqrt{3}}$

Из этого уравнения выразим величину заряда $\text{q}$:

$q = \frac{E \cdot a^2}{k \sqrt{3}}$

Подставим числовые значения:

$q = \frac{4500 \cdot (0.2)^2}{9 \cdot 10^9 \cdot \sqrt{3}} = \frac{4500 \cdot 0.04}{9 \cdot 10^9 \cdot \sqrt{3}} = \frac{180}{9 \cdot 10^9 \cdot \sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Вычислим значение:

$q \approx \frac{20}{1.732} \cdot 10^{-9} \approx 11.547 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} \approx 1.15 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}$

Это значение можно также записать как 11.5 нКл.

Ответ: Модуль каждого из зарядов равен приблизительно $1.15 \cdot 10^{-8}$ Кл (или 11.5 нКл).