Теоретическое исследование, страница 311 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Основы электродинамики. Глава 11. Электромагнитное поле. Напряжённость электростатического поля. Параграф 56. Движение заряженной частицы в однородном электростатическом поле. Вопросы - страница 311.

Условие.

Теоретическое исследование

На рис. 240 показана траектория движения электрона между вертикально отклоняющими пластинами электронно-лучевой трубки. Проанализируйте траекторию движения электрона, выполнив следующие задания.

а) Укажите направление вектора начальной скорости $\vec{v}_0$ электрона в точке 1 траектории.

б) С каким по модулю ускорением движется электрон, если модуль напряжённости однородного электростатического поля равен $\text{E}$?

в) Запишите уравнения движения электрона вдоль координатных осей $\text{X}$ и $\text{Y}$: $x = x(t); y = y(t)$.

г) Покажите, что траектория движения электрона является параболой. Для этого найдите уравнение её траектории: $y = y(x)$.

Рис. 240

Решение.

а) В точке 1 электрон влетает в область между пластинами. Судя по начальному участку траектории, который совпадает с осью OX, вектор начальной скорости $\vec{v_0}$ направлен горизонтально вправо, то есть сонаправлен с осью OX.

Ответ: Вектор начальной скорости $\vec{v_0}$ в точке 1 направлен вдоль положительного направления оси OX.

б)

Дано:
Модуль напряжённости поля: $\text{E}$
Заряд электрона: $q = -e$, где $\text{e}$ - элементарный заряд ($e \approx 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл)
Масса электрона: $m_e$ ($m_e \approx 9,1 \cdot 10^{-31}$ кг)

Найти:
$\text{a}$ - модуль ускорения электрона.

Решение:
На электрон в однородном электростатическом поле действует постоянная сила Кулона $\vec{F}$. Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает электрону ускорение $\vec{a}$: $\vec{F} = m_e \vec{a}$.
Сила, действующая на заряд в электростатическом поле, равна $\vec{F} = q\vec{E}$. В нашем случае $q = -e$.
Вектор напряжённости $\vec{E}$ направлен от положительно заряженной пластины к отрицательной, то есть вертикально вниз (против оси OY). Сила, действующая на отрицательно заряженный электрон, будет направлена в противоположную сторону, то есть вертикально вверх (вдоль оси OY).
Найдём модуль силы: $F = |q|E = eE$.
Теперь из второго закона Ньютона найдём модуль ускорения: $F = m_e a$, откуда $eE = m_e a$.
Следовательно, $a = \frac{eE}{m_e}$.

Ответ: $a = \frac{eE}{m_e}$.

в) Движение электрона можно разложить на два независимых движения вдоль осей OX и OY.

Движение вдоль оси OX:
Вдоль оси OX на электрон не действуют силы (силу тяжести можно пренебречь по сравнению с силой Кулона), поэтому ускорение в этом направлении равно нулю ($a_x = 0$). Движение является равномерным. Начальная координата $x_0 = 0$. Начальная скорость $v_{0x} = v_0$.
Уравнение движения: $x(t) = x_0 + v_{0x}t = v_0 t$.

Движение вдоль оси OY:
Вдоль оси OY на электрон действует постоянная сила, сообщающая ему постоянное ускорение $a_y = a = \frac{eE}{m_e}$, направленное вверх. Движение является равноускоренным.
Начальная координата $y_0 = 0$. Начальная скорость $v_{0y} = 0$.
Уравнение движения: $y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2} = 0 + 0 \cdot t + \frac{at^2}{2} = \frac{eE t^2}{2m_e}$.

Ответ: $x(t) = v_0 t$; $y(t) = \frac{eE t^2}{2m_e}$.

г) Чтобы найти уравнение траектории $y(x)$, необходимо исключить время $\text{t}$ из системы уравнений движения, полученных в пункте в).

Из уравнения для координаты $\text{x}$ выразим время: $x = v_0 t \implies t = \frac{x}{v_0}$.

Подставим это выражение для времени в уравнение для координаты $\text{y}$:
$y(t) = \frac{eE}{2m_e} t^2 \implies y(x) = \frac{eE}{2m_e} \left(\frac{x}{v_0}\right)^2 = \frac{eE}{2m_e v_0^2} x^2$.

Полученное уравнение $y(x) = kx^2$, где $k = \frac{eE}{2m_e v_0^2}$ является постоянным коэффициентом ($k>0$), является каноническим уравнением параболы с вершиной в начале координат (0,0) и ветвями, направленными вверх. Это доказывает, что траектория движения электрона является параболой.

Ответ: Уравнение траектории: $y = \frac{eE}{2m_e v_0^2} x^2$.