Номер 5, страница 309 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Основы электродинамики. Глава 11. Электромагнитное поле. Напряжённость электростатического поля. Параграф 55. Линии напряжённости электростатического поля. Задания и упражнения - номер 5, страница 309.

Условие.

* 5. Однородное электростатическое поле создано между двумя разноимённо заряженными металлическими пластинами. В этом поле напряжённостью $30\,000 \text{ Н/Кл}$ находится точечный заряд, модуль которого равен $20 \text{ нКл}$. Найдите модуль напряжённости результирующего поля на расстоянии $4 \text{ см}$ от заряда в точках, лежащих:

а) на силовой линии, проходящей через заряд;

б) на прямой, проходящей через заряд и перпендикулярной силовым линиям.

Решение.

Дано:

Напряженность однородного поля, $E_0 = 30 000 \text{ Н/Кл}$
Модуль точечного заряда, $|q| = 20 \text{ нКл}$
Расстояние от заряда, $r = 4 \text{ см}$
Коэффициент пропорциональности (постоянная Кулона), $k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

$|q| = 20 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = 2 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}$
$r = 0.04 \text{ м} = 4 \cdot 10^{-2} \text{ м}$
$E_0 = 3 \cdot 10^4 \text{ Н/Кл}$

Найти:

Модуль напряженности результирующего поля $E_{рез}$ в случаях а) и б).

Решение:

Результирующее электростатическое поле в любой точке пространства является векторной суммой полей, создаваемых каждым из источников (принцип суперпозиции). В нашем случае результирующее поле $\vec{E}_{рез}$ равно сумме однородного поля $\vec{E}_0$ и поля, создаваемого точечным зарядом, $\vec{E}_q$:

$\vec{E}_{рез} = \vec{E}_0 + \vec{E}_q$

Сначала найдем модуль напряженности поля, создаваемого точечным зарядом $\text{q}$ на расстоянии $\text{r}$. Он вычисляется по формуле:

$E_q = k \frac{|q|}{r^2}$

Подставим числовые значения:

$E_q = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot \frac{2 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}}{(4 \cdot 10^{-2} \text{ м})^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{2 \cdot 10^{-8}}{16 \cdot 10^{-4}} \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} = \frac{18 \cdot 10^1}{16 \cdot 10^{-4}} \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} = 1.125 \cdot 10^5 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} = 112 500 \text{ Н/Кл}$

Теперь рассмотрим два случая, описанных в задаче.

а) на силовой линии, проходящей через заряд

В этом случае векторы напряженностей $\vec{E}_0$ и $\vec{E}_q$ коллинеарны (лежат на одной прямой). Направление вектора $\vec{E}_q$ зависит от знака заряда $\text{q}$ и положения точки относительно заряда. Если заряд положительный, вектор $\vec{E}_q$ направлен от заряда; если отрицательный — к заряду. Так как силовая линия проходит через заряд, то по одну сторону от заряда векторы $\vec{E}_0$ и $\vec{E}_q$ будут сонаправлены, а по другую — противоположно направлены (независимо от знака заряда).

1. Если векторы сонаправлены, модуль результирующей напряженности равен сумме модулей:

$E_{рез,1} = E_0 + E_q = 30 000 \text{ Н/Кл} + 112 500 \text{ Н/Кл} = 142 500 \text{ Н/Кл}$

2. Если векторы направлены в противоположные стороны, модуль результирующей напряженности равен модулю разности их модулей:

$E_{рез,2} = |E_0 - E_q| = |30 000 \text{ Н/Кл} - 112 500 \text{ Н/Кл}| = |-82 500 \text{ Н/Кл}| = 82 500 \text{ Н/Кл}$

Ответ: 142 500 Н/Кл и 82 500 Н/Кл.

б) на прямой, проходящей через заряд и перпендикулярной силовым линиям

В этом случае вектор напряженности однородного поля $\vec{E}_0$ направлен вдоль силовых линий, а вектор напряженности поля точечного заряда $\vec{E}_q$ направлен радиально (вдоль прямой, соединяющей заряд и точку). По условию, эта прямая перпендикулярна силовым линиям. Следовательно, векторы $\vec{E}_0$ и $\vec{E}_q$ взаимно перпендикулярны.

Модуль их векторной суммы находится по теореме Пифагора:

$E_{рез} = \sqrt{E_0^2 + E_q^2}$

Подставим значения:

$E_{рез} = \sqrt{(30 000)^2 + (112 500)^2} = \sqrt{9 \cdot 10^8 + 126.5625 \cdot 10^8} = \sqrt{(9 + 126.5625) \cdot 10^8} = \sqrt{135.5625 \cdot 10^8} \approx 11.643 \cdot 10^4 \text{ Н/Кл} \approx 116 430 \text{ Н/Кл}$

Округлим результат, например, до кН/Кл: $116 \text{ кН/Кл}$.

Ответ: $\approx 116 430 \text{ Н/Кл}$ (или $116.4 \text{ кН/Кл}$).