Номер 6, страница 309 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Основы электродинамики. Глава 11. Электромагнитное поле. Напряжённость электростатического поля. Параграф 55. Линии напряжённости электростатического поля. Задания и упражнения - номер 6, страница 309.

Условие.

* 6. В вершинах равностороннего треугольника со стороной 40 см находятся точечные заряды, модули которых равны 10 нКл. Найдите модуль напряжённости электростатического поля в центре треугольника, если в двух вершинах при его основании находятся положительные заряды, а в третью вершину помещён отрицательный заряд. Сделайте необходимый чертёж.

Решение.

Дано:

Равносторонний треугольник
Сторона треугольника $a = 40 \text{ см}$
Модуль зарядов $|q_1| = |q_2| = |q_3| = q = 10 \text{ нКл}$
Знаки зарядов: $q_1 > 0$, $q_2 > 0$, $q_3 < 0$

$a = 0.4 \text{ м}$
$q = 10 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
Коэффициент пропорциональности $k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Найти:

$E_ц$

Решение:

Согласно принципу суперпозиции полей, напряжённость электростатического поля в центре треугольника (точка О) равна векторной сумме напряжённостей полей, создаваемых каждым из трёх зарядов: $\vec{E_ц} = \vec{E_1} + \vec{E_2} + \vec{E_3}$

Центр равностороннего треугольника находится на одинаковом расстоянии от всех его вершин. Это расстояние $\text{r}$ равно радиусу описанной окружности и вычисляется по формуле: $r = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны $\text{a}$: $r = \frac{0.4}{\sqrt{3}} \text{ м}$

Модуль напряжённости поля, создаваемого точечным зарядом, определяется формулой: $E = k \frac{|q|}{r^2}$

Так как модули зарядов и расстояния от зарядов до центра треугольника одинаковы, то и модули напряжённостей полей, создаваемых каждым зарядом, будут равны: $E_1 = E_2 = E_3 = E = k \frac{q}{r^2} = k \frac{q}{(a/\sqrt{3})^2} = \frac{3kq}{a^2}$

Теперь определим направления векторов напряжённости:

• Вектор $\vec{E_1}$ создан положительным зарядом $q_1$ и направлен от него, то есть вдоль прямой, соединяющей вершину 1 и центр О, от вершины.
• Вектор $\vec{E_2}$ создан положительным зарядом $q_2$ и направлен от него, то есть вдоль прямой, соединяющей вершину 2 и центр О, от вершины.
• Вектор $\vec{E_3}$ создан отрицательным зарядом $q_3$ и направлен к нему, то есть вдоль прямой, соединяющей центр О и вершину 3, к вершине.

Угол между векторами $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ составляет $120^\circ$. Их векторная сумма $\vec{E_{12}} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$ будет направлена вертикально вверх по высоте треугольника, проведенной из вершины 3. Модуль этой суммы найдем по теореме косинусов: $E_{12}^2 = E_1^2 + E_2^2 + 2E_1 E_2 \cos(120^\circ) = E^2 + E^2 + 2E^2(-\frac{1}{2}) = 2E^2 - E^2 = E^2$

Следовательно, $E_{12} = E$.

Вектор $\vec{E_3}$ также направлен вертикально вверх, к отрицательному заряду в вершине 3.

Таким образом, результирующий вектор напряжённости $\vec{E_ц}$ является суммой двух сонаправленных векторов $\vec{E_{12}}$ и $\vec{E_3}$. Его модуль равен сумме их модулей: $E_ц = E_{12} + E_3 = E + E = 2E$

Подставим выражение для $\text{E}$: $E_ц = 2 \cdot \frac{3kq}{a^2} = \frac{6kq}{a^2}$

Произведем вычисления: $E_ц = \frac{6 \cdot 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot 10 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{(0.4 \text{ м})^2} = \frac{540 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}}{0.16 \text{ м}^2} = 3375 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} = 3375 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

Ответ: $3375 \frac{\text{В}}{\text{м}}$ или $3.375 \frac{\text{кВ}}{\text{м}}$.