Номер 5, страница 355 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Лабораторные работы. 4. Исследование равномерного движения тела по окружности - номер 5, страница 355.

Условие.

5. Возьмите нить пальцами у точки подвеса и вращайте маятник так, чтобы шарик описывал в пространстве окружность, приблизительно равную начерченной на листе.

Решение.

На изображении представлена инструкция к выполнению опыта с коническим маятником. Конический маятник — это груз (шарик), подвешенный на нити, который движется с постоянной скоростью по окружности в горизонтальной плоскости. При этом нить описывает в пространстве коническую поверхность. Решим задачу о движении такого маятника в общем виде, чтобы определить его основные кинематические и динамические характеристики.

Дано:

$\text{m}$ — масса шарика

$\text{l}$ — длина нити

$\text{r}$ — радиус окружности, по которой движется шарик

$\text{g}$ — ускорение свободного падения

Найти:

$\text{v}$ — линейная скорость шарика

$\text{T}$ — период обращения шарика

$F_T$ — сила натяжения нити

Решение:

На шарик, движущийся по окружности, действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $F_T$, направленная вдоль нити к точке подвеса. Пусть нить образует с вертикалью угол $\alpha$.

Поскольку шарик движется равномерно по окружности, его ускорение является центростремительным ($a_c$), направлено горизонтально к центру окружности и по модулю равно $a_c = \frac{v^2}{r}$.

Применим второй закон Ньютона. Для этого разложим силу натяжения нити $F_T$ на две составляющие: вертикальную $F_{T,y} = F_T \cos \alpha$ и горизонтальную $F_{T,x} = F_T \sin \alpha$.

Запишем уравнения второго закона Ньютона в проекциях на вертикальную (Y) и горизонтальную (X) оси:

По оси Y (вертикальной) шарик не движется, поэтому сумма сил равна нулю:

$F_{T,y} - mg = 0$

$F_T \cos \alpha = mg$ (1)

По оси X (горизонтальной) равнодействующая сил сообщает шарику центростремительное ускорение:

$F_{T,x} = m a_c$

$F_T \sin \alpha = m \frac{v^2}{r}$ (2)

Из геометрии системы (прямоугольного треугольника, образованного нитью, вертикалью и радиусом) можно выразить тригонометрические функции угла $\alpha$ через $\text{l}$ и $\text{r}$:

$\sin \alpha = \frac{r}{l}$

Высота конуса $\text{h}$ (расстояние от точки подвеса до плоскости вращения) равна $h = \sqrt{l^2 - r^2}$.

$\cos \alpha = \frac{h}{l} = \frac{\sqrt{l^2 - r^2}}{l}$

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{r/l}{h/l} = \frac{r}{h} = \frac{r}{\sqrt{l^2 - r^2}}$

Теперь найдем искомые величины.

1. Сила натяжения нити $F_T$

Из уравнения (1) выразим $F_T$:

$F_T = \frac{mg}{\cos \alpha}$

Подставим выражение для $\cos \alpha$:

$F_T = \frac{mg}{\frac{\sqrt{l^2 - r^2}}{l}} = \frac{mgl}{\sqrt{l^2 - r^2}}$

2. Линейная скорость шарика $\text{v}$

Разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{F_T \sin \alpha}{F_T \cos \alpha} = \frac{m v^2 / r}{mg}$

$\tan \alpha = \frac{v^2}{rg}$

Отсюда выразим скорость $\text{v}$:

$v = \sqrt{rg \tan \alpha}$

Подставим выражение для $\tan \alpha$:

$v = \sqrt{rg \frac{r}{\sqrt{l^2 - r^2}}} = r\sqrt{\frac{g}{\sqrt{l^2 - r^2}}}$

3. Период обращения шарика $\text{T}$

Период обращения связан со скоростью и радиусом формулой $T = \frac{2\pi r}{v}$. Подставим найденное выражение для скорости $\text{v}$:

$T = \frac{2\pi r}{r\sqrt{\frac{g}{\sqrt{l^2 - r^2}}}} = 2\pi \sqrt{\frac{\sqrt{l^2 - r^2}}{g}}$

Если ввести высоту конуса $h = \sqrt{l^2 - r^2}$, то формула для периода примет более простой вид: $T = 2\pi \sqrt{\frac{h}{g}}$.

Ответ:

Линейная скорость шарика: $v = r\sqrt{\frac{g}{\sqrt{l^2 - r^2}}}$

Период обращения шарика: $T = 2\pi \sqrt{\frac{\sqrt{l^2 - r^2}}{g}}$

Сила натяжения нити: $F_T = \frac{mgl}{\sqrt{l^2 - r^2}}$