Номер 9, страница 357 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Лабораторные работы. 5. Измерение жёсткости пружины - номер 9, страница 357.

Условие.

9. Запишите значение $\text{k}$ жёсткости пружины с учётом максимальной абсолютной погрешности косвенного измерения: $k = k_{\text{ср}} \pm \Delta k$.

Номер опыта	$\text{m}$, кг	$\text{x}$, м	$F_{\text{упр}}$, Н	$k_{\text{ср}}$, Н/м	$\varepsilon$, %	$\Delta k$, Н/м	$\text{k}$, Н/м
1
2
3

Решение.

Поскольку в задании не предоставлены экспериментальные данные, для демонстрации решения будут использованы гипотетические значения, которые могли бы быть получены в ходе трёх опытов по измерению жёсткости пружины.

Дано:

Проведено 3 опыта. В ходе опытов измерялись масса груза (m) и вызванное им удлинение пружины (x).

Опыт 1: $m_1 = 100 \text{ г}$, $x_1 = 2.5 \text{ см}$

Опыт 2: $m_2 = 200 \text{ г}$, $x_2 = 5.1 \text{ см}$

Опыт 3: $m_3 = 300 \text{ г}$, $x_3 = 7.4 \text{ см}$

Ускорение свободного падения: $g = 9.8 \text{ Н/кг}$

Приборная погрешность измерения массы (электронные весы): $\Delta m_{приб} = 2 \text{ г}$

Приборная погрешность измерения длины (линейка): $\Delta x_{приб} = 1 \text{ мм}$

Перевод в СИ:

$m_1 = 0.1 \text{ кг}$

$m_2 = 0.2 \text{ кг}$

$m_3 = 0.3 \text{ кг}$

$x_1 = 0.025 \text{ м}$

$x_2 = 0.051 \text{ м}$

$x_3 = 0.074 \text{ м}$

$\Delta m_{приб} = 0.002 \text{ кг}$

$\Delta x_{приб} = 0.001 \text{ м}$

Найти:

Значение жёсткости пружины $\text{k}$ с учётом максимальной абсолютной погрешности косвенного измерения в виде $k = k_{ср} \pm \Delta k$.

Решение:

1. Для каждого опыта рассчитаем силу упругости $F_{упр}$, которая в состоянии равновесия равна силе тяжести $F_g = mg$.

$F_{упр1} = m_1 g = 0.1 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ Н/кг} = 0.98 \text{ Н}$

$F_{упр2} = m_2 g = 0.2 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ Н/кг} = 1.96 \text{ Н}$

$F_{упр3} = m_3 g = 0.3 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ Н/кг} = 2.94 \text{ Н}$

2. По закону Гука $F_{упр} = kx$ найдём значение жёсткости пружины $\text{k}$ для каждого опыта: $k = \frac{F_{упр}}{x}$.

$k_1 = \frac{F_{упр1}}{x_1} = \frac{0.98 \text{ Н}}{0.025 \text{ м}} = 39.2 \text{ Н/м}$

$k_2 = \frac{F_{упр2}}{x_2} = \frac{1.96 \text{ Н}}{0.051 \text{ м}} \approx 38.43 \text{ Н/м}$

$k_3 = \frac{F_{упр3}}{x_3} = \frac{2.94 \text{ Н}}{0.074 \text{ м}} \approx 39.73 \text{ Н/м}$

3. Вычислим среднее значение жёсткости пружины $k_{ср}$.

$k_{ср} = \frac{k_1 + k_2 + k_3}{3} = \frac{39.2 + 38.43 + 39.73}{3} = \frac{117.36}{3} \approx 39.12 \text{ Н/м}$

4. Определим максимальную абсолютную погрешность измерений. Полная погрешность косвенного измерения $\Delta k$ складывается из случайной погрешности $\Delta k_{случ}$ (обусловленной разбросом результатов) и приборной погрешности $\Delta k_{приб}$.

4.1. Найдём случайную погрешность. Сначала вычислим абсолютные отклонения каждого результата от среднего значения:

$|\Delta k_1| = |k_1 - k_{ср}| = |39.2 - 39.12| = 0.08 \text{ Н/м}$

$|\Delta k_2| = |k_2 - k_{ср}| = |38.43 - 39.12| = |-0.69| = 0.69 \text{ Н/м}$

$|\Delta k_3| = |k_3 - k_{ср}| = |39.73 - 39.12| = 0.61 \text{ Н/м}$

Случайная погрешность принимается равной максимальному из этих отклонений:

$\Delta k_{случ} = \max(|\Delta k_1|, |\Delta k_2|, |\Delta k_3|) = 0.69 \text{ Н/м}$

4.2. Найдём приборную погрешность. Так как $k = \frac{mg}{x}$, относительная приборная погрешность $\epsilon_k$ равна сумме относительных погрешностей измерения массы и удлинения (погрешностью величины $\text{g}$ пренебрегаем): $\epsilon_k = \epsilon_m + \epsilon_x = \frac{\Delta m_{приб}}{m} + \frac{\Delta x_{приб}}{x}$.

Рассчитаем относительную приборную погрешность для опыта, где она будет максимальной. Максимальная относительная погрешность возникает при измерении наименьших величин, то есть в первом опыте:

$\epsilon_{k, \max} = \frac{\Delta m_{приб}}{m_1} + \frac{\Delta x_{приб}}{x_1} = \frac{0.002 \text{ кг}}{0.1 \text{ кг}} + \frac{0.001 \text{ м}}{0.025 \text{ м}} = 0.02 + 0.04 = 0.06$

Абсолютная приборная погрешность вычисляется через среднее значение жёсткости:

$\Delta k_{приб} = k_{ср} \cdot \epsilon_{k, \max} = 39.12 \text{ Н/м} \cdot 0.06 \approx 2.35 \text{ Н/м}$

4.3. Найдём максимальную абсолютную погрешность как сумму случайной и приборной погрешностей:

$\Delta k = \Delta k_{случ} + \Delta k_{приб} = 0.69 \text{ Н/м} + 2.35 \text{ Н/м} = 3.04 \text{ Н/м}$

5. Округлим результаты в соответствии с правилами. Абсолютную погрешность округляют до одной значащей цифры.

$\Delta k \approx 3 \text{ Н/м}$

Среднее значение $k_{ср}$ округляют до того же десятичного разряда, что и погрешность (в данном случае, до целых).

$k_{ср} \approx 39 \text{ Н/м}$

6. Запишем окончательный результат в стандартном виде $k = k_{ср} \pm \Delta k$.

$k = (39 \pm 3) \text{ Н/м}$

Относительная погрешность измерений $\epsilon$ составляет:

$\epsilon = \frac{\Delta k}{k_{ср}} \cdot 100\% = \frac{3 \text{ Н/м}}{39 \text{ Н/м}} \cdot 100\% \approx 8\%$

Ответ: $k = (39 \pm 3) \text{ Н/м}$.