Теоретическое исследование, страница 274 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Молекулярная физика. Глава 10. Агрегатные состояния вещества. Фазовые переходы. Параграф 49. Смачивание. Капиллярные явления. Вопросы - страница 274.

Условие.

Теоретическое исследование

Пусть жидкость в капилляре полностью смачивает его внутреннюю поверхность. При этом мениск имеет форму полусферы радиусом $\text{r}$, равным радиусу капилляра (рис. 204). Длина контура, ограничивающего поверхность жидкости, равна длине окружности $l = 2\pi r$. В состоянии равновесия модуль силы поверхностного натяжения $F_{\text{пов}} = 2\pi r \sigma$ равен модулю силы тяжести, действующей в капилляре на столб жидкости массой $\text{m}$. Объём жидкости равен $V = \pi r^2 h$.

Рис. 204

a) Какие силы действуют на поверхностный слой жидкости?

б) Используя второй закон Ньютона, формулу определения плотности вещества, покажите, что $h = \frac{2\sigma}{\rho g r}$.

Решение.

а) Какие силы действуют на поверхностный слой жидкости?

На столб жидкости в капилляре, поднятый над общим уровнем, в состоянии равновесия действуют две основные силы, которые уравновешивают друг друга:

1. Сила поверхностного натяжения ($F_{пов}$). Она направлена вертикально вверх вдоль линии соприкосновения (контура) жидкости со стенками капилляра. Эта сила обусловлена межмолекулярным взаимодействием и стремится сократить площадь свободной поверхности жидкости.

2. Сила тяжести ($F_{тяж}$). Она действует на массу столба жидкости, поднявшегося в капилляре, и направлена вертикально вниз.

Так как столб жидкости находится в равновесии, модули этих сил равны.

Ответ: На поверхностный слой жидкости в капилляре действуют направленная вверх сила поверхностного натяжения и направленная вниз сила тяжести, приложенная ко всему столбу жидкости.

б) Используя второй закон Ньютона, формулу определения плотности вещества, покажите, что h = $\frac{2\sigma}{\rho gr}$.

Дано:

$\sigma$ - коэффициент поверхностного натяжения жидкости

$\text{r}$ - радиус капилляра

$\rho$ - плотность жидкости

$\text{g}$ - ускорение свободного падения

$\text{h}$ - высота подъема жидкости в капилляре

Найти:

Доказать, что $h = \frac{2\sigma}{\rho g r}$.

Решение:

Рассмотрим столб жидкости в капилляре. Согласно второму закону Ньютона, условием равновесия является равенство нулю векторной суммы всех действующих на него сил. В проекции на вертикальную ось это означает, что сила поверхностного натяжения $F_{пов}$, направленная вверх, уравновешивается силой тяжести $F_{тяж}$, действующей на столб жидкости и направленной вниз.

$F_{пов} = F_{тяж}$

Сила поверхностного натяжения действует вдоль границы смачивания (окружности) и равна произведению коэффициента поверхностного натяжения $\sigma$ на длину этой границы $\text{l}$. Длина окружности равна $l = 2\pi r$.

$F_{пов} = \sigma l = 2\pi r \sigma$

Сила тяжести, действующая на столб жидкости, определяется по формуле $F_{тяж} = mg$, где $\text{m}$ — масса жидкости в столбе.

Массу жидкости можно выразить через её плотность $\rho$ и объём $\text{V}$ с помощью формулы $m = \rho V$.

Объём столба жидкости, считая его цилиндром высотой $\text{h}$ и радиусом основания $\text{r}$ (пренебрегая объёмом мениска), равен $V = \pi r^2 h$.

Подставим выражение для объёма в формулу для массы: $m = \rho \pi r^2 h$.

Теперь подставим полученную массу в формулу силы тяжести:

$F_{тяж} = (\rho \pi r^2 h)g$

Приравняем выражения для силы поверхностного натяжения и силы тяжести:

$2\pi r \sigma = \rho \pi r^2 h g$

Для нахождения высоты $\text{h}$ разделим обе части уравнения на $\pi, r, \rho, g$:

$2\sigma = \rho r h g$

Выразим $\text{h}$:

$h = \frac{2\sigma}{\rho g r}$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Исходя из условия равновесия ($F_{пов} = F_{тяж}$), где $F_{пов} = 2\pi r \sigma$ и $F_{тяж} = \rho (\pi r^2 h) g$, мы получаем, что высота подъема жидкости в капилляре $h = \frac{2\sigma}{\rho g r}$, что и требовалось доказать.