Номер 21.4, страница 124 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

21.4. Концентрации молекул идеального газа и их средние квадратичные скорости в двух сосудах одинаковы. Масса молекулы газа во втором сосуде в два раза больше, чем в первом. Чему равно отношение давлений $p_1/p_2$?

Дано:

Идеальный газ в двух сосудах.

Концентрации молекул: $n_1 = n_2 = n$

Средние квадратичные скорости: $\sqrt{\langle v_1^2 \rangle} = \sqrt{\langle v_2^2 \rangle}$

Массы молекул: $m_{02} = 2m_{01}$

Найти:

$\frac{p_1}{p_2}$ - ?

Решение:

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) связывает давление идеального газа $\text{p}$ с его микроскопическими параметрами:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle$

где $\text{n}$ — концентрация молекул, $m_0$ — масса одной молекулы, а $\langle v^2 \rangle$ — среднее значение квадрата скорости молекул.

Запишем это уравнение для каждого из двух сосудов.

Давление в первом сосуде:

$p_1 = \frac{1}{3} n_1 m_{01} \langle v_1^2 \rangle$

Давление во втором сосуде:

$p_2 = \frac{1}{3} n_2 m_{02} \langle v_2^2 \rangle$

Чтобы найти искомое отношение давлений, разделим уравнение для $p_1$ на уравнение для $p_2$:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{\frac{1}{3} n_1 m_{01} \langle v_1^2 \rangle}{\frac{1}{3} n_2 m_{02} \langle v_2^2 \rangle} = \frac{n_1 m_{01} \langle v_1^2 \rangle}{n_2 m_{02} \langle v_2^2 \rangle}$

Из условия задачи известно, что концентрации молекул в сосудах одинаковы: $n_1 = n_2$.

Также равны и средние квадратичные скорости $\sqrt{\langle v_1^2 \rangle} = \sqrt{\langle v_2^2 \rangle}$. Если равны корни, то равны и подкоренные выражения, то есть средние значения квадратов скоростей также одинаковы: $\langle v_1^2 \rangle = \langle v_2^2 \rangle$.

Подставим эти равенства, а также заданное соотношение масс $m_{02} = 2m_{01}$ в формулу для отношения давлений:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{n_1 \cdot m_{01} \cdot \langle v_1^2 \rangle}{n_1 \cdot (2m_{01}) \cdot \langle v_1^2 \rangle}$

Сокращаем одинаковые множители ($n_1$, $m_{01}$ и $\langle v_1^2 \rangle$) в числителе и знаменателе дроби:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{1}{2}$

Ответ: отношение давлений $\frac{p_1}{p_2} = \frac{1}{2}$.