Номер 4, страница 137 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

4. Покажите, что уравнение (24.4) является следствием уравнения состояния идеального газа для изохорного процесса.

4. Покажите, что уравнение (24.4) является следствием уравнения состояния идеального газа для изохорного процесса.

Дано:

Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона): $pV = \nu RT$.
Условия изохорного процесса: объем $V = \text{const}$, количество вещества $\nu = \text{const}$.

Найти:

Доказать, что закон Шарля (предположительно, уравнение (24.4)), $\frac{p}{T} = \text{const}$, вытекает из уравнения состояния идеального газа.

Решение:

Исходным для нашего доказательства является уравнение состояния идеального газа, которое связывает макроскопические параметры газа (давление $\text{p}$, объем $\text{V}$ и абсолютную температуру $\text{T}$): $pV = \nu RT$ Здесь $\nu$ — количество вещества, а $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная.
Для изохорного процесса объем газа остается неизменным ($V = \text{const}$). Также мы рассматриваем систему с постоянной массой газа, а значит, и с постоянным количеством вещества ($\nu = \text{const}$). Величина $\text{R}$ также является фундаментальной константой.
Преобразуем уравнение состояния так, чтобы с одной стороны оказались параметры, которые меняются в ходе процесса ($\text{p}$ и $\text{T}$), а с другой — постоянные величины: $\frac{p}{T} = \frac{\nu R}{V}$
Проанализируем правую часть полученного выражения. Поскольку $\nu$, $\text{R}$ и $\text{V}$ — постоянные величины для данного изохорного процесса, то их комбинация $\frac{\nu R}{V}$ также является постоянной величиной (константой). $\frac{\nu R}{V} = \text{const}$
Из этого следует, что и левая часть уравнения, равная этой константе, также должна оставаться постоянной: $\frac{p}{T} = \text{const}$
Это соотношение известно как закон Шарля. Оно показывает, что для двух любых состояний (1 и 2) в ходе изохорного процесса выполняется равенство $\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$. Таким образом, мы доказали, что уравнение (24.4) для изохорного процесса является прямым следствием уравнения состояния идеального газа.

Ответ: Уравнение для изохорного процесса ($\frac{p}{T} = \text{const}$) выводится из уравнения состояния идеального газа ($pV=\nu RT$) при условии постоянства объема ($V=\text{const}$) и количества вещества ($\nu=\text{const}$). Для этого достаточно в уравнении состояния сгруппировать переменные ($\text{p}$, $\text{T}$) и постоянные ($\nu$, $\text{R}$, $\text{V}$) по разные стороны от знака равенства.

5. Покажите, что уравнение (24.6) является следствием уравнения состояния

Дано:

Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона): $pV = \nu RT$.
Постоянное количество вещества: $\nu = \text{const}$.
Предположение: уравнение (24.6) описывает изобарный процесс, т.е. $p = \text{const}$.

Найти:

Доказать, что закон Гей-Люссака (предположительно, уравнение (24.6)), $\frac{V}{T} = \text{const}$, вытекает из уравнения состояния идеального газа.

Решение:

Так как этот вопрос следует за задачей об изохорном процессе, можно предположить, что уравнение (24.6) описывает другой важный изопроцесс. Наиболее вероятно, что речь идет об изобарном процессе, который описывается законом Гей-Люссака.
За основу снова берем уравнение состояния идеального газа: $pV = \nu RT$
Условием изобарного процесса является постоянство давления ($p = \text{const}$). Как и в предыдущей задаче, количество вещества $\nu$ и универсальная газовая постоянная $\text{R}$ также являются константами.
Перепишем уравнение, чтобы разделить переменные величины ($\text{V}$ и $\text{T}$) и постоянные ($\text{p}$, $\nu$, $\text{R}$): $\frac{V}{T} = \frac{\nu R}{p}$
Рассмотрим правую часть этого равенства. Так как все входящие в нее величины ($\nu$, $\text{R}$, $\text{p}$) постоянны в рамках данного процесса, то вся дробь является константой: $\frac{\nu R}{p} = \text{const}$
Следовательно, левая часть уравнения также должна быть постоянной: $\frac{V}{T} = \text{const}$
Это выражение является математической формулировкой закона Гей-Люссака. Оно означает, что для любых двух состояний (1 и 2) в ходе изобарного процесса выполняется равенство $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$. Таким образом, мы показали, что закон Гей-Люссака, который, как мы предположили, является уравнением (24.6), есть следствие уравнения состояния идеального газа.

Ответ: Если предположить, что уравнение (24.6) описывает изобарный процесс (закон Гей-Люссака $\frac{V}{T} = \text{const}$), то оно напрямую выводится из уравнения состояния идеального газа ($pV=\nu RT$) при условии, что давление ($\text{p}$) и количество вещества ($\nu$) остаются постоянными.