Номер 24.4, страница 139 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

24.4*. На рисунке 2.20 представлен график зависимости давления газа от температуры. В каком состоянии (1 или 2) газ занимает больший объём? Ответ обоснуйте.

Рис. 2.20

Дано:

График зависимости давления газа $\text{p}$ от температуры $\text{T}$.

Состояние 1 с параметрами ($T_1$, $p_1$).

Состояние 2 с параметрами ($T_2$, $p_2$).

Из графика: $p_1 > p_2$ и $T_1 < T_2$.

Найти:

В каком состоянии (1 или 2) газ занимает больший объём $\text{V}$.

Решение:

Состояние идеального газа описывается уравнением Менделеева-Клапейрона:

$pV = \nu RT$

где $\text{p}$ – давление газа, $\text{V}$ – его объем, $\text{T}$ – абсолютная температура, $\nu$ – количество вещества газа, $\text{R}$ – универсальная газовая постоянная. Будем считать количество газа постоянным ($\nu = \text{const}$).

Выразим из этого уравнения объем $\text{V}$:

$V = \frac{\nu RT}{p}$

Для сравнения объемов в состояниях 1 и 2 ($V_1$ и $V_2$) можно использовать графический метод. Преобразуем уравнение состояния к виду зависимости $p(T)$:

$p = \left(\frac{\nu R}{V}\right)T$

Это уравнение имеет вид $p=kT$, где коэффициент пропорциональности $k = \frac{\nu R}{V}$. В координатах $p-T$ этому уравнению соответствует прямая линия, проходящая через начало координат. Такие линии, соответствующие процессу при постоянном объеме, называются изохорами.

Коэффициент наклона $\text{k}$ изохоры к оси температур $\text{T}$ равен $k = \frac{p}{T}$. Из формулы $k = \frac{\nu R}{V}$ следует, что коэффициент наклона $\text{k}$ обратно пропорционален объему $\text{V}$. Это означает, что чем больше объем, тем меньше наклон изохоры (линия более пологая), и наоборот, чем меньше объем, тем больше наклон изохоры (линия более крутая).

Мысленно проведем на графике из начала координат (точки $O(0,0)$) лучи через точки 1 и 2. Эти лучи будут являться изохорами, соответствующими объемам $V_1$ и $V_2$.

Из геометрии графика видно, что луч, проходящий через точку 1 (луч $O-1$), имеет больший угол наклона к оси $\text{T}$, чем луч, проходящий через точку 2 (луч $O-2$). Следовательно, коэффициент наклона для состояния 1 ($k_1$) больше, чем для состояния 2 ($k_2$):

$k_1 > k_2$

Поскольку $k_1 = \frac{\nu R}{V_1}$ и $k_2 = \frac{\nu R}{V_2}$, то мы можем записать:

$\frac{\nu R}{V_1} > \frac{\nu R}{V_2}$

Сократив на постоянную величину $\nu R$, получаем:

$\frac{1}{V_1} > \frac{1}{V_2}$

Это неравенство справедливо только в том случае, если знаменатель левой части меньше знаменателя правой части:

$V_1 < V_2$

Таким образом, объем газа в состоянии 2 больше, чем в состоянии 1.

Ответ: Газ занимает больший объем в состоянии 2. Обоснование: согласно уравнению состояния идеального газа, на графике в координатах $p-T$ линии постоянного объема (изохоры) являются прямыми, проходящими через начало координат. Тангенс угла наклона изохоры к оси температур обратно пропорционален объему. На представленном графике, линия, проведенная из начала координат через точку 2, будет иметь меньший наклон, чем линия, проведенная через точку 1. Следовательно, объем в состоянии 2 больше, чем в состоянии 1.