Номер 2, страница 143 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

2. Является ли изотерма вандерваальсова газа гиперболой?

1. Каков смысл первой и второй поправок в уравнении Ван-дер-Ваальса?

Уравнение состояния идеального газа $pV = \nu RT$ основано на двух основных допущениях: молекулы газа являются материальными точками (не имеют собственного объема), и между ними нет сил взаимодействия. Уравнение Ван-дер-Ваальса является одной из моделей, описывающих реальный газ, и вводит две поправки к уравнению идеального газа, чтобы учесть эти факторы.

Уравнение Ван-дер-Ваальса для $\nu$ молей газа имеет вид:

$$ \left(p + \frac{a \nu^2}{V^2}\right)(V - b\nu) = \nu RT $$

Здесь $\text{a}$ и $\text{b}$ — постоянные Ван-дер-Ваальса, зависящие от природы газа.

Первая поправка, член $\frac{a \nu^2}{V^2}$ (или $\frac{a}{V_m^2}$ для одного моля, где $V_m$ — молярный объем), учитывает силы межмолекулярного притяжения. Молекулы внутри объема газа притягиваются соседними молекулами со всех сторон, и эти силы в среднем скомпенсированы. Однако молекулы у стенки сосуда испытывают нескомпенсированную силу притяжения со стороны молекул из объема газа. Это приводит к тому, что реальное давление газа на стенки сосуда ($\text{p}$) оказывается меньше, чем было бы в отсутствие сил притяжения. Поправка $\frac{a \nu^2}{V^2}$ представляет собой "внутреннее давление", обусловленное силами притяжения. Его добавление к измеряемому давлению $\text{p}$ позволяет использовать в уравнении "идеальное" давление, которое существовало бы без этих сил. Величина этой поправки пропорциональна квадрату концентрации молекул ($(\nu/V)^2$), так как она зависит как от числа молекул, притягивающих пристеночный слой, так и от числа молекул в самом пристеночном слое.

Вторая поправка, член $b\nu$ (или просто $\text{b}$ для одного моля), учитывает собственный объем молекул. В модели идеального газа молекулы считаются точками, и доступный для движения объем равен всему объему сосуда $\text{V}$. В реальном газе молекулы имеют конечные размеры, поэтому эффективный объем, в котором они могут свободно двигаться, меньше объема сосуда. Постоянная $\text{b}$ представляет собой "исключенный объем" в расчете на один моль газа. Это объем, недоступный для центров других молекул из-за наличия одной молекулы. Теоретически можно показать, что постоянная $\text{b}$ примерно в четыре раза превышает собственный объем всех молекул в одном моле. Таким образом, разность $(V - b\nu)$ — это свободный объем, доступный для движения молекул.

Ответ: Первая поправка ($\frac{a \nu^2}{V^2}$) учитывает силы межмолекулярного притяжения, которые уменьшают давление газа на стенки сосуда. Вторая поправка ($b\nu$) учитывает собственный объем молекул, который уменьшает доступный для их движения объем.

2. Является ли изотерма вандерваальсова газа гиперболой?

Нет, в общем случае изотерма вандерваальсова газа не является гиперболой.

Изотермой называется зависимость давления $\text{p}$ от объема $\text{V}$ при постоянной температуре $\text{T}$. Для идеального газа эта зависимость описывается законом Бойля-Мариотта $pV = \text{const}$, что графически представляет собой гиперболу.

Для вандерваальсова газа (рассмотрим 1 моль для простоты) уравнение изотермы имеет вид:

$$ p = \frac{RT}{V_m - b} - \frac{a}{V_m^2} $$

Это уравнение не является уравнением гиперболы вида $p \cdot V = \text{const}$. Оно представляет собой сумму двух функций от объема $V_m$:

1. Первый член, $\frac{RT}{V_m - b}$, является гиперболой, смещенной вправо на величину $\text{b}$ по оси объемов.
2. Второй член, $-\frac{a}{V_m^2}$, описывает уменьшение давления из-за межмолекулярного притяжения и имеет другую зависимость от объема.

Сумма этих двух функций дает кривую, форма которой отличается от гиперболы.

• При высоких температурах и больших объемах, когда $V_m \gg b$ и член $\frac{a}{V_m^2}$ становится пренебрежимо малым по сравнению с $\text{p}$, уравнение Ван-дер-Ваальса приближается к уравнению идеального газа, и его изотерма становится похожей на гиперболу.
• Однако при температурах ниже некоторой критической температуры ($T < T_c$) изотермы имеют характерный S-образный (волнообразный) участок с локальным максимумом и минимумом, что кардинально отличает их от монотонно убывающей гиперболы. Этот участок описывает неустойчивые состояния при фазовом переходе газ-жидкость.

Ответ: Нет, изотерма вандерваальсова газа не является гиперболой. Ее форма описывается более сложной функцией, и при температурах ниже критической она имеет волнообразный участок, не свойственный гиперболе.

3. От чего зависит сред... (предполагаемый полный вопрос: "От чего зависит средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул?")

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа является фундаментальной характеристикой, напрямую связанной с его температурой.

Согласно молекулярно-кинетической теории, абсолютная температура ($\text{T}$) является мерой средней кинетической энергии хаотического поступательного движения молекул. Эта связь выражается формулой:

$$ \langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT $$

где $\langle E_k \rangle$ — средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы, $\text{k}$ — постоянная Больцмана ($k \approx 1.38 \times 10^{-23}$ Дж/К), а $\text{T}$ — абсолютная температура в кельвинах.

Из этой формулы следует, что средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул зависит только от абсолютной температуры. Она не зависит от давления, объема, массы молекул или их химической природы (т.е. от сил взаимодействия, описываемых в модели Ван-дер-Ваальса). Этот вывод справедлив как для идеальных, так и для реальных газов.

Стоит отметить, что другие величины, такие как средняя квадратичная скорость молекул ($v_{rms} = \sqrt{3kT/m_0}$, где $m_0$ - масса молекулы) или внутренняя энергия реального газа, зависят и от других параметров (массы молекул и объема соответственно). Однако средняя кинетическая энергия, определяющая "степень нагретости" тела, связана исключительно с температурой.

Ответ: Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа зависит только от его абсолютной температуры.