Номер 25.3, страница 143 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

25.3. Оцените, каким должно быть давление азота в сосуде, чтобы при температуре $0 °C$ длина свободного пробега его молекул была равна $1 \, м$. Эффективное сечение молекулы азота примите равным $4,3 \cdot 10^{-19} \, м^2$.

Дано:

Температура азота, $t = 0$ °C

Длина свободного пробега молекул, $\lambda = 1$ м

Эффективное сечение молекулы азота, $\sigma = 4,3 \cdot 10^{-19}$ м²

Постоянная Больцмана, $k \approx 1,38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К

Перевод в систему СИ:

Температура в Кельвинах: $T = t + 273,15 = 0 + 273,15 = 273,15$ К

Все остальные величины уже даны в системе СИ.

Найти:

Давление азота, $\text{p}$

Решение:

Длина свободного пробега молекул $\lambda$ связана с концентрацией молекул $\text{n}$ и их эффективным поперечным сечением $\sigma$ следующей формулой:

$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}\sigma n}$

Из этой формулы мы можем выразить концентрацию молекул $\text{n}$:

$n = \frac{1}{\sqrt{2}\sigma \lambda}$

Давление идеального газа $\text{p}$ можно найти из основного уравнения молекулярно-кинетической теории, которое связывает давление, концентрацию молекул и температуру:

$p = n k T$

где $\text{k}$ — постоянная Больцмана, $\text{T}$ — абсолютная температура.

Теперь подставим выражение для концентрации $\text{n}$ в уравнение для давления:

$p = \frac{1}{\sqrt{2}\sigma \lambda} \cdot k T = \frac{k T}{\sqrt{2}\sigma \lambda}$

Все величины в правой части уравнения известны. Подставим их значения для расчета давления:

$p = \frac{1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К} \cdot 273,15 \text{ К}}{\sqrt{2} \cdot 4,3 \cdot 10^{-19} \text{ м}^2 \cdot 1 \text{ м}}$

Проведем вычисления:

$p \approx \frac{3,77 \cdot 10^{-21}}{1,414 \cdot 4,3 \cdot 10^{-19}} \text{ Па} \approx \frac{3,77 \cdot 10^{-21}}{6,08 \cdot 10^{-19}} \text{ Па}$

$p \approx 0,62 \cdot 10^{-2} \text{ Па} = 6,2 \cdot 10^{-3}$ Па.

Такое низкое давление соответствует глубокому вакууму, что логично, так как длина свободного пробега в 1 метр является очень большой величиной.

Ответ: Давление азота в сосуде должно быть примерно $6,2 \cdot 10^{-3}$ Па.