Номер 3, страница 143 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

3. От чего зависит средняя длина свободного пробега молекул газа?

Нет, в общем случае изотерма вандерваальсова газа не является гиперболой.

Изотермический процесс для идеального газа описывается законом Бойля-Мариотта $PV = \text{const}$, где $\text{P}$ – давление, а $\text{V}$ – объем. В координатах $P-V$ эта зависимость представляет собой гиперболу.

Уравнение состояния для одного моля реального газа, описываемого моделью Ван-дер-Ваальса, имеет вид: $ \left(P + \frac{a}{V_m^2}\right)(V_m - b) = RT $ где $V_m$ – молярный объем, $\text{T}$ – абсолютная температура, $\text{R}$ – универсальная газовая постоянная, а $\text{a}$ и $\text{b}$ – постоянные Ван-дер-Ваальса, учитывающие межмолекулярное взаимодействие и собственный объем молекул соответственно.

Для изотермического процесса ($T = \text{const}$), правая часть уравнения является постоянной. Выразим давление $\text{P}$ как функцию объема $V_m$: $ P(V_m) = \frac{RT}{V_m - b} - \frac{a}{V_m^2} $ Эта зависимость не является уравнением гиперболы вида $P = \frac{\text{const}}{V_m}$. Наличие поправочных членов $\text{a}$ и $\text{b}$ искажает гиперболическую форму.

При высоких температурах и больших объемах (малых давлениях) поправки $a/V_m^2$ и $\text{b}$ становятся пренебрежимо малыми, и уравнение Ван-дер-Ваальса сводится к уравнению идеального газа. Только в этих условиях изотерма реального газа приближается к гиперболе. Однако при температурах ниже критической, изотермы Ван-дер-Ваальса имеют характерный S-образный участок, что кардинально отличает их от монотонно убывающей гиперболы.

Ответ: Изотерма вандерваальсова газа не является гиперболой. Она лишь приближается к гиперболе в условиях, близких к идеальным (высокие температуры и низкие давления), а в общем случае ее форма значительно сложнее.

3. От чего зависит средняя длина свободного пробега молекул газа?

Средняя длина свободного пробега молекул газа ($\lambda$) – это среднее расстояние, которое пролетает молекула между двумя последовательными столкновениями. Она зависит от трех основных факторов: концентрации молекул, их размеров и температуры.

Формула для средней длины свободного пробега имеет вид: $ \lambda = \frac{1}{\sqrt{2} n \pi d^2} $ где $\text{n}$ – концентрация молекул (число молекул в единице объема), а $\text{d}$ – эффективный диаметр молекулы. Величина $\sigma = \pi d^2$ называется эффективным поперечным сечением столкновения.

Используя уравнение состояния идеального газа $P = n k_B T$, где $\text{P}$ – давление, $\text{T}$ – абсолютная температура, $k_B$ – постоянная Больцмана, можно выразить концентрацию $n = P/(k_B T)$ и подставить в формулу для $\lambda$: $ \lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P} $ Из этой формулы видно, что средняя длина свободного пробега:

1. Прямо пропорциональна абсолютной температуре $\text{T}$. С ростом температуры при постоянном давлении уменьшается концентрация, и молекулы в среднем пролетают большее расстояние до столкновения.

2. Обратно пропорциональна давлению $\text{P}$. С ростом давления увеличивается концентрация молекул, что приводит к более частым столкновениям и уменьшению длины свободного пробега.

3. Обратно пропорциональна эффективному сечению столкновения молекул ($\pi d^2$). Чем больше размер молекул, тем больше вероятность их столкновения и, соответственно, тем меньше средняя длина свободного пробега.

Ответ: Средняя длина свободного пробега молекул газа зависит от температуры (прямо пропорционально), давления (обратно пропорционально) и размера самих молекул (обратно пропорционально площади их поперечного сечения).

4. Как зависит модуль перемещения...

Вопрос в представленном изображении является неполным. Предположим, что он звучит так: «Как зависит модуль среднеквадратичного перемещения молекулы газа от времени?».

Движение отдельной молекулы в газе представляет собой случайное блуждание. Из-за хаотичности столкновений с другими молекулами направление скорости постоянно меняется. Поэтому среднее векторное перемещение молекулы за любой макроскопический промежуток времени равно нулю.

Однако модуль перемещения не равен нулю. Для характеристики "удаления" молекулы от начальной точки используется среднеквадратичное перемещение $\langle \Delta r^2 \rangle$. Для процесса случайного блуждания (диффузии) было показано, что среднеквадратичное перемещение прямо пропорционально времени наблюдения $\text{t}$: $ \langle \Delta r^2 \rangle \propto t $ Модуль среднеквадратичного перемещения (или корень из среднеквадратичного смещения, RMS displacement) – это величина $\sqrt{\langle \Delta r^2 \rangle}$. Исходя из вышеуказанной пропорциональности, получаем: $ \sqrt{\langle \Delta r^2 \rangle} \propto \sqrt{t} $ Таким образом, величина, характеризующая модуль перемещения молекулы, растет пропорционально квадратному корню из времени.

Ответ: В предположении, что вопрос касается зависимости среднеквадратичного перемещения молекулы газа от времени, можно утверждать, что модуль среднеквадратичного перемещения пропорционален квадратному корню из времени ($\sqrt{t}$).