Номер 25.2, страница 143 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

25.2. В межзвёздном пространстве содержится газообразный атомарный водород. Его концентрация примерно $1 \text{ атом в } 1 \text{ см}^3$, температура $125 \text{ К}$. Вычислите давление меж-звёздного газа, длину свободного пробега и средний промежуток времени между двумя столкновениями молекул. Радиус атома водорода равен $5 \cdot 10^{-11} \text{ м}$.

Дано:

Концентрация атомарного водорода, $n_{raw} = 1 \text{ атом/см}^3$

Температура, $T = 125 \text{ К}$

Радиус атома водорода, $r = 5 \cdot 10^{-11} \text{ м}$

Постоянная Больцмана, $k \approx 1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}$

Масса атома водорода, $m_0 \approx 1.67 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

Перевод в систему СИ:

$n = 1 \frac{\text{атом}}{\text{см}^3} = 1 \frac{\text{атом}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 10^6 \text{ м}^{-3}$

Найти:

Давление межзвёздного газа, $\text{p}$ - ?

Длину свободного пробега, $\lambda$ - ?

Средний промежуток времени между двумя столкновениями, $\tau$ - ?

Решение:

Давление межзвёздного газа

Давление идеального газа можно найти по формуле, связывающей его с концентрацией и температурой:

$p = nkT$

Подставим известные значения:

$p = 10^6 \text{ м}^{-3} \cdot 1.38 \cdot 10^{-23} \frac{\text{Дж}}{\text{К}} \cdot 125 \text{ К}$

$p = 172.5 \cdot 10^{-17} \text{ Па} \approx 1.73 \cdot 10^{-15} \text{ Па}$

Ответ: Давление межзвёздного газа примерно равно $1.73 \cdot 10^{-15} \text{ Па}$.

Длина свободного пробега

Длина свободного пробега $\lambda$ — это среднее расстояние, которое пролетает атом между двумя последовательными столкновениями. Она вычисляется по формуле:

$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$

где $\text{d}$ - эффективный диаметр атома, $\text{n}$ - концентрация атомов. Диаметр атома водорода $d = 2r$.

$d = 2 \cdot 5 \cdot 10^{-11} \text{ м} = 10^{-10} \text{ м}$

Подставим значения в формулу для $\lambda$:

$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi (10^{-10} \text{ м})^2 \cdot 10^6 \text{ м}^{-3}} = \frac{1}{\sqrt{2} \pi \cdot 10^{-20} \cdot 10^6} \text{ м}$

$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi \cdot 10^{-14}} \text{ м} \approx \frac{1}{1.414 \cdot 3.142 \cdot 10^{-14}} \text{ м} \approx \frac{1}{4.443 \cdot 10^{-14}} \text{ м}$

$\lambda \approx 0.225 \cdot 10^{14} \text{ м} = 2.25 \cdot 10^{13} \text{ м}$

Ответ: Длина свободного пробега составляет примерно $2.25 \cdot 10^{13} \text{ м}$.

Средний промежуток времени между двумя столкновениями молекул

Средний промежуток времени между столкновениями $\tau$ можно найти, разделив среднюю длину свободного пробега $\lambda$ на среднюю скорость движения атомов $\langle v \rangle$:

$\tau = \frac{\lambda}{\langle v \rangle}$

Сначала найдем среднюю тепловую скорость атомов водорода по формуле:

$\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m_0}}$

где $m_0$ - масса одного атома водорода.

$\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8 \cdot 1.38 \cdot 10^{-23} \frac{\text{Дж}}{\text{К}} \cdot 125 \text{ К}}{\pi \cdot 1.67 \cdot 10^{-27} \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{1.38 \cdot 10^{-20}}{5.247 \cdot 10^{-27}}} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$\langle v \rangle \approx \sqrt{0.263 \cdot 10^7} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \sqrt{2.63 \cdot 10^6} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 1.62 \cdot 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 1620 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Теперь вычислим $\tau$:

$\tau = \frac{2.25 \cdot 10^{13} \text{ м}}{1620 \frac{\text{м}}{\text{с}}} \approx 1.39 \cdot 10^{10} \text{ с}$

Для наглядности можно перевести это время в годы (1 год $\approx 3.15 \cdot 10^7$ с):

$\tau \approx \frac{1.39 \cdot 10^{10} \text{ с}}{3.15 \cdot 10^7 \frac{\text{с}}{\text{год}}} \approx 441 \text{ год}$

Ответ: Средний промежуток времени между двумя столкновениями составляет примерно $1.39 \cdot 10^{10} \text{ с}$ (около 441 года).