Номер 31.3, страница 172 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

31.3. К медной проволоке длиной 1,2 м и площадью поперечного сечения 5 мм² подвесили груз массой 10 кг. Определите работу растяжения проволоки. Модуль упругости меди $1,18 \cdot 10^{11}$ Па.

Дано:

$L_0 = 1,2 \text{ м}$

$S = 5 \text{ мм}^2$

$m = 10 \text{ кг}$

$E = 1,18 \cdot 10^{11} \text{ Па}$

$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

$S = 5 \text{ мм}^2 = 5 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 5 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

Найти:

$\text{A}$

Решение:

Работа, совершаемая при упругом растяжении тела, равна потенциальной энергии, запасенной в этом теле. Поскольку сила упругости линейно зависит от удлинения (согласно закону Гука), работа вычисляется по формуле:

$A = \frac{F \cdot \Delta L}{2}$

где $\text{F}$ - сила, растягивающая проволоку, а $\Delta L$ - абсолютное удлинение проволоки.

Сила, растягивающая проволоку, равна весу подвешенного груза:

$F = m \cdot g$

Для определения удлинения $\Delta L$ воспользуемся законом Гука в форме, использующей модуль упругости (модуль Юнга) $\text{E}$:

$\sigma = E \cdot \epsilon$

где $\sigma$ - механическое напряжение, а $\epsilon$ - относительное удлинение.

Механическое напряжение определяется как:

$\sigma = \frac{F}{S}$

Относительное удлинение определяется как:

$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$

Подставим выражения для $\sigma$ и $\epsilon$ в формулу для модуля Юнга:

$\frac{F}{S} = E \cdot \frac{\Delta L}{L_0}$

Отсюда выразим абсолютное удлинение $\Delta L$:

$\Delta L = \frac{F \cdot L_0}{E \cdot S}$

Теперь подставим это выражение для $\Delta L$ в формулу для работы:

$A = \frac{F}{2} \cdot \frac{F \cdot L_0}{E \cdot S} = \frac{F^2 \cdot L_0}{2 \cdot E \cdot S}$

Заменив силу $\text{F}$ на $m \cdot g$, получим итоговую формулу для расчета:

$A = \frac{(m \cdot g)^2 \cdot L_0}{2 \cdot E \cdot S}$

Произведем вычисления, подставив числовые значения:

$A = \frac{(10 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2)^2 \cdot 1,2 \text{ м}}{2 \cdot 1,18 \cdot 10^{11} \text{ Па} \cdot 5 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2} = \frac{(98 \text{ Н})^2 \cdot 1,2 \text{ м}}{2 \cdot 1,18 \cdot 10^{11} \cdot 5 \cdot 10^{-6} \text{ Дж/м}} = \frac{9604 \cdot 1,2}{11,8 \cdot 10^5} \text{ Дж}$

$A = \frac{11524,8}{1180000} \text{ Дж} \approx 0,009766 \text{ Дж}$

Округлим результат и выразим его в миллиджоулях (мДж):

$A \approx 9,77 \cdot 10^{-3} \text{ Дж} = 9,77 \text{ мДж}$

Ответ: работа растяжения проволоки равна приблизительно $9,77 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$ или $9,77 \text{ мДж}$.