Номер 31.7, страница 172 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

31.7. Масса кабины лифта с пассажирами 500 кг. Кабина подвешена на тросе, изготовленном из стали с пределом прочности на растяжение $5.5 \cdot 10^8 \text{ Па}$. Лифт движется вверх с ускорением $0.5 \text{ м/с}^2$. Каким запасом прочности обладает трос, если площадь его поперечного сечения $1.4 \text{ см}^2$?

Дано:

$m = 500 \text{ кг}$

$\sigma_{пр} = 5,5 \cdot 10^8 \text{ Па}$

$a = 0,5 \text{ м/с}^2$

$S = 1,4 \text{ см}^2$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

$S = 1,4 \text{ см}^2 = 1,4 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

$\text{n}$

Решение:

Запас прочности $\text{n}$ определяется как отношение предела прочности материала $\sigma_{пр}$ к рабочему (действующему) напряжению $\sigma$, которое возникает в тросе при его эксплуатации.

$n = \frac{\sigma_{пр}}{\sigma}$

Рабочее напряжение $\sigma$ — это сила, приходящаяся на единицу площади поперечного сечения. В данном случае это сила натяжения троса $\text{T}$, деленная на площадь его поперечного сечения $\text{S}$.

$\sigma = \frac{T}{S}$

Для нахождения силы натяжения троса $\text{T}$ применим второй закон Ньютона к кабине лифта. На кабину действуют две силы по вертикали: сила натяжения троса $\text{T}$, направленная вверх, и сила тяжести $F_т = mg$, направленная вниз. Поскольку лифт движется вверх с ускорением $\text{a}$, равнодействующая этих сил сообщает ему это ускорение.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$T - mg = ma$

Из этого уравнения выразим силу натяжения троса $\text{T}$:

$T = mg + ma = m(g + a)$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$T = 500 \text{ кг} \cdot (9,8 \text{ м/с}^2 + 0,5 \text{ м/с}^2) = 500 \text{ кг} \cdot 10,3 \text{ м/с}^2 = 5150 \text{ Н}$

Теперь, зная силу натяжения и площадь поперечного сечения (в СИ), можем рассчитать рабочее напряжение в тросе:

$\sigma = \frac{T}{S} = \frac{5150 \text{ Н}}{1,4 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2} \approx 36785714,3 \text{ Па} \approx 3,68 \cdot 10^7 \text{ Па}$

Наконец, определим запас прочности троса, разделив предел прочности на рабочее напряжение:

$n = \frac{\sigma_{пр}}{\sigma} = \frac{5,5 \cdot 10^8 \text{ Па}}{3,68 \cdot 10^7 \text{ Па}} \approx 14,95$

Так как исходные данные в задаче имеют два значащих числа, результат целесообразно округлить до двух значащих чисел. Округляя, получаем 15.

Ответ: запас прочности троса составляет примерно 15.