Номер 31.6, страница 172 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

31.6. Какой диаметр должен иметь стальной трос подъёмного устройства, если максимальная масса поднимаемого груза равна 5 т? Предел прочности троса $10^9 \text{ Па}$, запас прочности должен быть равен 6.

Дано:

Максимальная масса груза $m = 5$ т
Предел прочности троса $\sigma_{пр} = 10^9$ Па
Запас прочности $n = 6$

$m = 5 \cdot 1000 = 5000$ кг
Ускорение свободного падения примем равным $g \approx 9,8$ м/с².

Найти:

Диаметр троса $\text{d}$.

Решение:

На трос действует сила тяжести груза, которая равна силе натяжения троса $\text{F}$:
$F = m \cdot g$
Механическое напряжение $\sigma$ в материале троса определяется как отношение действующей силы $\text{F}$ к площади поперечного сечения троса $\text{S}$:
$\sigma = \frac{F}{S}$
Для обеспечения безопасной работы, рабочее напряжение в тросе не должно превышать допустимое напряжение $\sigma_{доп}$. Допустимое напряжение рассчитывается с учетом запаса прочности $\text{n}$ и предела прочности материала $\sigma_{пр}$:
$\sigma_{доп} = \frac{\sigma_{пр}}{n}$
Таким образом, должно выполняться условие: $\sigma \le \sigma_{доп}$. Для нахождения минимально необходимого диаметра троса, приравняем рабочее напряжение к допустимому:
$\frac{F}{S} = \frac{\sigma_{пр}}{n}$
Отсюда выразим необходимую площадь поперечного сечения троса $\text{S}$:
$S = \frac{F \cdot n}{\sigma_{пр}} = \frac{m \cdot g \cdot n}{\sigma_{пр}}$
Площадь поперечного сечения для троса круглой формы выражается через его диаметр $\text{d}$ по формуле:
$S = \frac{\pi d^2}{4}$
Приравняв два выражения для площади $\text{S}$, получим уравнение для нахождения диаметра:
$\frac{\pi d^2}{4} = \frac{m \cdot g \cdot n}{\sigma_{пр}}$
Выразим $d^2$ и затем $\text{d}$:
$d^2 = \frac{4 \cdot m \cdot g \cdot n}{\pi \cdot \sigma_{пр}}$
$d = \sqrt{\frac{4 \cdot m \cdot g \cdot n}{\pi \cdot \sigma_{пр}}}$
Подставим числовые значения в формулу:
$d = \sqrt{\frac{4 \cdot 5000 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 6}{3,14159 \cdot 10^9 \text{ Па}}} = \sqrt{\frac{1176000}{3,14159 \cdot 10^9}} \approx \sqrt{3,743 \cdot 10^{-4}}$ м
$d \approx 0,01935$ м
Переведем результат в миллиметры, умножив на 1000:
$d \approx 0,01935 \cdot 1000 = 19,35$ мм.
Округлим значение до десятых.

Ответ: диаметр стального троса должен быть не менее $19,4$ мм.