Номер 31.8, страница 172 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

31.8. Для взятия пробы грунта со дна океана используется специальный прибор, опускаемый на стальном тросе. Чему равна предельная глубина погружения прибора, если предел прочности на разрыв стального троса $5 \cdot 10^8$ Па? Масса прибора по сравнению с массой троса пренебрежимо мала. Плотность стали $7,8 \cdot 10^3$ кг/м$^3$, плотность морской воды $1,03 \cdot 10^3$ кг/м$^3$.

Дано:

Предел прочности на разрыв стального троса $ \sigma_{пр} = 5 \cdot 10^8 $ Па

Плотность стали $ \rho_{с} = 7,8 \cdot 10^3 $ кг/м³

Плотность морской воды $ \rho_{в} = 1,03 \cdot 10^3 $ кг/м³

Ускорение свободного падения $ g \approx 9,8 $ м/с²

Масса прибора по сравнению с массой троса пренебрежимо мала.

Найти:

Предельную глубину погружения $\text{h}$.

Решение:

По условию, масса прибора на конце троса пренебрежимо мала. Это означает, что трос может разорваться под действием собственного веса. Наибольшая сила натяжения будет в самой верхней точке троса, так как этот участок должен выдерживать вес всей части троса, погруженной в воду.

Предел прочности на разрыв $ \sigma_{пр} $ — это максимальное механическое напряжение, которое материал может выдержать, не разрушаясь. Напряжение $ \sigma $ определяется как отношение силы $\text{F}$, действующей перпендикулярно поперечному сечению, к площади этого сечения $\text{S}$:

$ \sigma = \frac{F}{S} $

Трос разорвется, когда напряжение в его верхней точке достигнет предельного значения $ \sigma_{пр} $.

Сила $\text{F}$, действующая на верхний конец троса, равна его весу в воде. Вес в воде (или эффективная сила тяжести) — это разница между силой тяжести $ F_{т} $, действующей на трос, и выталкивающей силой Архимеда $ F_{А} $, действующей на него со стороны воды.

$ F = F_{т} - F_{А} $

Пусть предельная глубина погружения (и, соответственно, длина троса) равна $\text{h}$, а площадь его поперечного сечения — $\text{S}$. Тогда объем троса равен $ V = hS $.

Сила тяжести, действующая на трос, равна:

$ F_{т} = m_{с}g = \rho_{с}Vg = \rho_{с}hSg $

Выталкивающая сила Архимеда, действующая на трос, равна весу вытесненной им воды:

$ F_{А} = \rho_{в}gV = \rho_{в}ghS $

Сила натяжения в верхней точке троса:

$ F = F_{т} - F_{А} = \rho_{с}hSg - \rho_{в}ghS = (\rho_{с} - \rho_{в})ghS $

Теперь подставим это выражение для силы $\text{F}$ в формулу для напряжения:

$ \sigma = \frac{(\rho_{с} - \rho_{в})ghS}{S} = (\rho_{с} - \rho_{в})gh $

Важно отметить, что площадь поперечного сечения $\text{S}$ сокращается. Это означает, что предельная глубина погружения не зависит от толщины троса.

При предельной глубине $\text{h}$ напряжение $ \sigma $ становится равным $ \sigma_{пр} $. Выразим $\text{h}$ из этого равенства:

$ \sigma_{пр} = (\rho_{с} - \rho_{в})gh $

$ h = \frac{\sigma_{пр}}{(\rho_{с} - \rho_{в})g} $

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$ h = \frac{5 \cdot 10^8 \text{ Па}}{(7,8 \cdot 10^3 \text{ кг/м³} - 1,03 \cdot 10^3 \text{ кг/м³}) \cdot 9,8 \text{ м/с²}} $

$ h = \frac{5 \cdot 10^8}{(6,77 \cdot 10^3) \cdot 9,8} = \frac{5 \cdot 10^8}{66346} \approx 7536,5 \text{ м} $

Округляя результат до трех значащих цифр, получаем $ h \approx 7540 $ м, или $ 7,54 $ км.

Ответ: предельная глубина погружения прибора равна примерно 7540 м.