Номер 31.1, страница 172 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

РЕШИТЕ

31.1. Чему равно абсолютное удлинение стального троса длиной $12 \text{ м}$ и площадью поперечного сечения $2 \text{ см}^2$ при подвешивании к нему груза массой $2 \text{ т}$? Модуль упругости стали $2 \cdot 10^{11} \text{ Па}$.

31.1. Дано:

Длина троса, $l_0 = 12$ м
Площадь поперечного сечения, $S = 2$ см²
Масса груза, $m = 2$ т
Модуль упругости стали, $E = 2 \cdot 10^{11}$ Па

$S = 2 \text{ см}^2 = 2 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$
$m = 2 \text{ т} = 2 \cdot 1000 \text{ кг} = 2000 \text{ кг}$

Найти:

Абсолютное удлинение, $\Delta l$.

Решение:

Абсолютное удлинение можно найти, используя закон Гука для упругой деформации. Модуль упругости (или модуль Юнга) $\text{E}$ связывает механическое напряжение $\sigma$ и относительное удлинение $\epsilon$ соотношением:

$E = \frac{\sigma}{\epsilon}$

Механическое напряжение $\sigma$ определяется как отношение силы $\text{F}$, действующей на поперечное сечение троса, к площади этого сечения $\text{S}$:

$\sigma = \frac{F}{S}$

Относительное удлинение $\epsilon$ — это отношение абсолютного удлинения $\Delta l$ к первоначальной длине троса $l_0$:

$\epsilon = \frac{\Delta l}{l_0}$

Подставим выражения для напряжения и относительного удлинения в формулу модуля упругости:

$E = \frac{F/S}{\Delta l/l_0} = \frac{F \cdot l_0}{S \cdot \Delta l}$

Из этой формулы выразим искомое абсолютное удлинение $\Delta l$:

$\Delta l = \frac{F \cdot l_0}{E \cdot S}$

Сила $\text{F}$, растягивающая трос, равна силе тяжести, действующей на подвешенный груз. Рассчитаем ее, приняв ускорение свободного падения $g \approx 10$ Н/кг:

$F = m \cdot g = 2000 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} = 20000 \text{ Н} = 2 \cdot 10^4 \text{ Н}$

Теперь подставим все числовые значения в систему СИ в формулу для расчета абсолютного удлинения:

$\Delta l = \frac{2 \cdot 10^4 \text{ Н} \cdot 12 \text{ м}}{2 \cdot 10^{11} \text{ Па} \cdot 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2}$

Выполним вычисления:

$\Delta l = \frac{24 \cdot 10^4}{4 \cdot 10^{11-4}} \text{ м} = \frac{24 \cdot 10^4}{4 \cdot 10^7} \text{ м} = 6 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Результат можно представить в миллиметрах: $6 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 6 \text{ мм}$.

Ответ: абсолютное удлинение стального троса равно $6 \cdot 10^{-3}$ м.