Задача, страница 171 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА. Какой диаметр должен иметь стальной трос подъёмного крана, если максимальная масса поднимаемого груза равна 10 т? Предел прочности стальной проволоки $8,5 \cdot 10^8$ Па, запас прочности должен быть равен 6.

Решение. Предел прочности определяется отношением модуля максимальной силы упругости к площади поперечного сечения: $\sigma_\text{п} = \frac{F_y}{S}$.

Так как запас прочности равен 6, трос должен выдержать нагрузку, в 6 раз превышающую ту, которая возникает при подъёме груза массой 10 т.

Следовательно, $\sigma_\text{п} = \frac{6mg}{\frac{\pi D^2}{4}} = \frac{24mg}{\pi D^2}$.

Отсюда диаметр троса равен:

$D = \sqrt{\frac{24mg}{\pi \sigma_\text{п}}}$; $D = \sqrt{\frac{24 \cdot 10^4 \cdot 10}{3,14 \cdot 8,5 \cdot 10^8}}$ (м) $\approx 3 \cdot 10^{-2}$ м = 3 см.

Дано:

Максимальная масса поднимаемого груза, $m = 10 \text{ т}$

Предел прочности стальной проволоки, $\sigma_п = 8.5 \cdot 10^8 \text{ Па}$

Запас прочности, $k = 6$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с²}$

Перевод в систему СИ:

$m = 10 \text{ т} = 10 \cdot 10^3 \text{ кг} = 10^4 \text{ кг}$

Найти:

$\text{D}$ — диаметр троса.

Решение:

Предел прочности $\sigma_п$ — это максимальное механическое напряжение, которое материал способен выдержать, не разрушаясь. Он определяется как отношение максимальной силы $F_{max}$, которую может выдержать трос, к площади его поперечного сечения $\text{S}$:

$\sigma_п = \frac{F_{max}}{S}$

Запас прочности $\text{k}$ — это коэффициент, показывающий, во сколько раз разрушающая нагрузка ($F_{max}$) должна быть больше рабочей (эксплуатационной) нагрузки ($F_{раб}$). Рабочая нагрузка на трос создается силой тяжести поднимаемого груза:

$F_{раб} = mg$

Следовательно, трос должен быть рассчитан на максимальную силу:

$F_{max} = k \cdot F_{раб} = kmg$

Подставим это выражение в формулу предела прочности:

$\sigma_п = \frac{kmg}{S}$

Площадь поперечного сечения троса, который представляет собой круг с диаметром $\text{D}$, вычисляется по формуле:

$S = \frac{\pi D^2}{4}$

Теперь подставим формулу площади в наше уравнение, чтобы связать предел прочности с диаметром троса:

$\sigma_п = \frac{kmg}{\frac{\pi D^2}{4}} = \frac{4kmg}{\pi D^2}$

Из этого соотношения выразим искомый диаметр $\text{D}$:

$D^2 = \frac{4kmg}{\pi \sigma_п}$

$D = \sqrt{\frac{4kmg}{\pi \sigma_п}}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу. Примем значение $\pi \approx 3.14$ и ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с²}$:

$D = \sqrt{\frac{4 \cdot 6 \cdot 10^4 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с²}}{3.14 \cdot 8.5 \cdot 10^8 \text{ Па}}}$

Проведем вычисления:

$D = \sqrt{\frac{24 \cdot 10^5 \text{ Н}}{26.69 \cdot 10^8 \text{ Па}}} = \sqrt{\frac{2.4 \cdot 10^6}{2.669 \cdot 10^9}} \text{ м}$

$D \approx \sqrt{0.8992 \cdot 10^{-3}} \text{ м} \approx \sqrt{8.992 \cdot 10^{-4}} \text{ м} \approx 2.998 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Округляя результат, получаем, что диаметр троса должен быть примерно $0.03$ метра.

$D \approx 0.03 \text{ м} = 3 \text{ см}$

Ответ: диаметр стального троса должен быть равен $3 \text{ см}$.