Номер 49.5, страница 259 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

49.5. На металлическом шаре радиусом $\text{r}$ имеется электрический заряд $\text{q}$. Каким станет потенциал шара, если внести его внутрь металлической сферы радиусом $\text{R}$, изолированной от Земли, и коснуться им внутренней поверхности сферы?

Дано:

Радиус металлического шара: $\text{r}$

Начальный электрический заряд шара: $\text{q}$

Радиус металлической сферы: $\text{R}$

Малый шар вносится внутрь большой сферы и касается ее внутренней поверхности.

Большая сфера изолирована.

Найти:

Конечный потенциал шара $\phi$.

Решение:

Когда металлический шар с зарядом $\text{q}$ касается внутренней поверхности металлической сферы, они образуют единую проводящую систему. В состоянии электростатического равновесия заряды в проводнике перераспределяются таким образом, чтобы находиться на его внешней поверхности. Это происходит потому, что одноименные заряды отталкиваются друг от друга и стремятся занять положение на максимальном удалении, что соответствует внешней поверхности системы.

Таким образом, весь заряд $\text{q}$ с малого шара перейдет на внешнюю поверхность большой сферы радиусом $\text{R}$. На малом шаре и на внутренней поверхности большой сферы зарядов не останется.

После перераспределения заряда система представляет собой полую сферическую оболочку радиусом $\text{R}$ с зарядом $\text{q}$, равномерно распределенным по ее поверхности. Внутри такой заряженной сферы электрическое поле отсутствует, а потенциал в любой точке внутри сферы постоянен и равен потенциалу на ее поверхности.

Потенциал на поверхности сферы радиусом $\text{R}$ с зарядом $\text{q}$ определяется по формуле:

$\phi_{сферы} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R}$

где $\epsilon_0$ — электрическая постоянная.

Поскольку малый шар находится внутри большой сферы и является частью единой проводящей системы (даже после того, как контакт мог бы быть прерван, он все равно находится в области с постоянным потенциалом), его потенциал будет равен потенциалу большой сферы.

Следовательно, искомый потенциал шара $\phi$ равен потенциалу на поверхности большой сферы.

$\phi = \phi_{сферы} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R}$

Ответ:

Потенциал шара станет равен $\phi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R}$.