Номер 49.3, страница 259 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

49.3. На параллельных металлических пластинах находятся электрические заряды $\text{q}$ и $\text{3q}$. Определите разность потенциалов между пластинами, если площадь каждой пластины $\text{S}$ и расстояние между ними $\text{d}$. Между пластинами находится воздух. Примите $S \gg d^2$.

Дано:

Заряд первой пластины: $q_1 = q$
Заряд второй пластины: $q_2 = 3q$
Площадь каждой пластины: $\text{S}$
Расстояние между пластинами: $\text{d}$
Диэлектрическая проницаемость воздуха: $\epsilon \approx \epsilon_0$ (электрическая постоянная)
Условие: $S \gg d^2$

Найти:

Разность потенциалов между пластинами $\text{U}$.

Решение:

Рассматриваемая система представляет собой две параллельные проводящие пластины. Условие $S \gg d^2$ позволяет нам считать пластины бесконечно большими и пренебрегать краевыми эффектами, а электрическое поле между ними — однородным.

В системе из двух проводящих пластин электрические заряды перераспределяются по их поверхностям (внешним и внутренним). Общий заряд системы равен сумме зарядов пластин: $Q_{общ} = q_1 + q_2 = q + 3q = 4q$.

Согласно принципам электростатики, на внешних поверхностях системы (самой левой и самой правой) распределяется половина общего заряда. То есть на каждой из внешних поверхностей будет находиться заряд $q_{внешн} = \frac{Q_{общ}}{2} = \frac{4q}{2} = 2q$.

Зная заряды на внешних поверхностях, можно найти заряды на внутренних. Пусть $q_{1вн}$ и $q_{2вн}$ — заряды на внутренних поверхностях первой и второй пластин соответственно.

Для первой пластины полный заряд $q_1$ равен сумме зарядов на её внешней и внутренней поверхностях: $q_1 = q_{внешн} + q_{1вн}$.
Отсюда $q_{1вн} = q_1 - q_{внешн} = q - 2q = -q$.

Для второй пластины: $q_2 = q_{внешн} + q_{2вн}$.
Отсюда $q_{2вн} = q_2 - q_{внешн} = 3q - 2q = q$.

Таким образом, на внутренних поверхностях пластин находятся заряды $-q$ и $+q$. Они равны по модулю и противоположны по знаку, как на обкладках плоского конденсатора.

Разность потенциалов между пластинами создается электрическим полем в пространстве между ними. Это поле является суперпозицией полей от всех четырех заряженных поверхностей. Однако поля, создаваемые внешними заряженными поверхностями ($+2q$ на каждой), в области между пластинами направлены в противоположные стороны и равны по модулю, поэтому они взаимно компенсируются.

Следовательно, электрическое поле между пластинами определяется только зарядами на их внутренних поверхностях ($q_{1вн} = -q$ и $q_{2вн} = q$). Эти заряды создают однородное электрическое поле, напряженность которого $\text{E}$ определяется по формуле для поля внутри плоского конденсатора: $E = \frac{\sigma_{вн}}{\epsilon_0}$, где $\sigma_{вн}$ — абсолютное значение поверхностной плотности заряда на внутренних поверхностях.

$\sigma_{вн} = \frac{|q_{1вн}|}{S} = \frac{q}{S}$.

Тогда напряженность поля: $E = \frac{q}{\epsilon_0 S}$.

Разность потенциалов $\text{U}$ для однородного электрического поля связана с его напряженностью $\text{E}$ и расстоянием $\text{d}$ между пластинами следующим соотношением: $U = E \cdot d$.

Подставив выражение для напряженности поля $\text{E}$, получим искомую разность потенциалов: $U = \frac{q}{\epsilon_0 S} \cdot d = \frac{qd}{\epsilon_0 S}$.

Ответ: $U = \frac{qd}{\epsilon_0 S}$.