Номер 49.4, страница 259 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

49.4. В пространство между параллельными незаряженными пластинами 1 и 2 вносится параллельно им пластина 3 с плотностью электрического заряда $\sigma$. Определите разность потенциалов между пластинами 1 и 2, если расстояние между ними равно $\text{d}$.

Дано:

Пластины 1 и 2 – параллельные, незаряженные ($Q_1=0$, $Q_2=0$).

Пластина 3 – параллельна 1 и 2, находится между ними.

Поверхностная плотность заряда пластины 3: $\sigma$.

Расстояние между пластинами 1 и 2: $\text{d}$.

Найти:

Разность потенциалов между пластинами 1 и 2: $U_{12} = \phi_1 - \phi_2$.

Решение:

Введем систему координат. Пусть пластина 1 находится в плоскости $x=0$, а пластина 2 – в плоскости $x=d$. Заряженная пластина 3 находится в плоскости $x=a$, где $0 < a < d$.

Поскольку пластины 1, 2 и 3 являются проводящими, под действием электрического поля от пластины 3 на поверхностях пластин 1 и 2 произойдет перераспределение зарядов (электростатическая индукция). Суммарный заряд пластин 1 и 2 при этом остается равным нулю.

Рассмотрим установившееся состояние. Напряженность электрического поля внутри каждого проводника (пластин 1, 2, 3) равна нулю.

Определим распределение зарядов на поверхностях пластин. Пусть $\sigma_{1L}$ и $\sigma_{1R}$ – плотности заряда на левой и правой поверхностях пластины 1, $\sigma_{2L}$ и $\sigma_{2R}$ – на левой и правой поверхностях пластины 2, и $\sigma_{3L}$ и $\sigma_{3R}$ – на левой и правой поверхностях пластины 3.

Из условий задачи имеем:

1. Пластина 1 незаряжена: $\sigma_{1L} + \sigma_{1R} = 0$.

2. Пластина 2 незаряжена: $\sigma_{2L} + \sigma_{2R} = 0$.

3. Пластина 3 имеет заряд с плотностью $\sigma$: $\sigma_{3L} + \sigma_{3R} = \sigma$.

Напряженность поля внутри проводника 3 равна нулю. Это поле создается как его собственными поверхностными зарядами $\sigma_{3L}$ и $\sigma_{3R}$, так и внешними зарядами на пластинах 1 и 2. Поле, создаваемое на расстоянии от незаряженной в целом проводящей пластины (как 1 и 2), равно нулю. Следовательно, поле внутри пластины 3 создается только ее собственными поверхностными зарядами. Для того чтобы оно было равно нулю, необходимо, чтобы $\sigma_{3L} = \sigma_{3R}$.

Используя условие 3, получаем: $\sigma_{3L} = \sigma_{3R} = \sigma/2$.

Теперь рассмотрим пространство между пластинами. В зазоре между двумя проводящими поверхностями (например, между пластиной 1 и 3) индуцированные заряды на обращенных друг к другу поверхностях равны по модулю и противоположны по знаку.

Для зазора между пластиной 1 и 3: $\sigma_{1R} = -\sigma_{3L} = -\sigma/2$.

Для зазора между пластиной 3 и 2: $\sigma_{2L} = -\sigma_{3R} = -\sigma/2$.

Теперь найдем напряженность электрического поля в зазорах. Поле в пространстве между двумя разноименно заряженными поверхностями проводников равно $E = \sigma_{пов}/\varepsilon_0$, где $\sigma_{пов}$ - плотность заряда на одной из поверхностей, а $\varepsilon_0$ - электрическая постоянная.

В области между пластинами 1 и 3 ($0 < x < a$):

Поле $E_{13}$ создается поверхностями с зарядами $\sigma_{1R}=-\sigma/2$ и $\sigma_{3L}=\sigma/2$. Поле направлено от положительного заряда к отрицательному, то есть влево (против оси x). Его модуль равен:

$E_{13} = \frac{|\sigma_{1R}|}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma/2}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$.

В виде вектора: $\vec{E}_{13} = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec{i}$.

В области между пластинами 3 и 2 ($a < x < d$):

Поле $E_{32}$ создается поверхностями с зарядами $\sigma_{3R}=\sigma/2$ и $\sigma_{2L}=-\sigma/2$. Поле направлено от положительного заряда к отрицательному, то есть вправо (по оси x). Его модуль равен:

$E_{32} = \frac{\sigma_{3R}}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma/2}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$.

В виде вектора: $\vec{E}_{32} = +\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec{i}$.

Разность потенциалов между пластинами 1 и 2 равна работе по перемещению единичного заряда от пластины 2 к пластине 1, взятой с обратным знаком, или интегралу от напряженности поля:

$U_{12} = \phi_1 - \phi_2 = -\int\limits_2^1 \vec{E} \cdot d\vec{l} = \int\limits_1^2 \vec{E} \cdot d\vec{l}$.

Вычисляя интеграл вдоль оси x от $x=0$ до $x=d$:

$\phi_2 - \phi_1 = \int\limits_0^d E_x dx = \int\limits_0^a E_{13} dx + \int\limits_a^d E_{32} dx$

$\phi_2 - \phi_1 = \int\limits_0^a \left(-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\right) dx + \int\limits_a^d \left(\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\right) dx$

$\phi_2 - \phi_1 = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} [x]_0^a + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} [x]_a^d = -\frac{\sigma a}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma (d-a)}{2\varepsilon_0}$

$\phi_2 - \phi_1 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} (-a + d - a) = \frac{\sigma(d - 2a)}{2\varepsilon_0}$

Мы ищем $U_{12} = \phi_1 - \phi_2$:

$U_{12} = -(\phi_2 - \phi_1) = -\frac{\sigma(d - 2a)}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma(2a - d)}{2\varepsilon_0}$

Здесь $\text{a}$ – расстояние от пластины 1 до пластины 3.

Ответ: Разность потенциалов между пластинами 1 и 2 равна $U_{12} = \frac{\sigma(2a - d)}{2\varepsilon_0}$, где $\text{a}$ - расстояние от пластины 1 до пластины 3.