Номер 7, страница 258 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

7. Каково соотношение между напряжённостью и потенциалом электростатического поля?

7. Соотношение между напряжённостью электростатического поля $\vec{E}$ (векторная, силовая характеристика) и его потенциалом $\varphi$ (скалярная, энергетическая характеристика) является фундаментальным в электростатике. Эта связь показывает, как силовое действие поля связано с его энергетическими свойствами, и может быть выражена в интегральной и дифференциальной формах.

Интегральная форма связи

Работа $A_{12}$, совершаемая силами электростатического поля при перемещении точечного заряда $\text{q}$ из точки 1 в точку 2, определяется через разность потенциалов:

$A_{12} = q(\varphi_1 - \varphi_2)$

С другой стороны, работа по определению равна интегралу от силы $\vec{F} = q\vec{E}$ по траектории перемещения $d\vec{l}$:

$A_{12} = \int_{1}^{2} \vec{F} \cdot d\vec{l} = q \int_{1}^{2} \vec{E} \cdot d\vec{l}$

Приравнивая оба выражения для работы и сокращая на величину заряда $\text{q}$, получаем связь между разностью потенциалов и напряжённостью:

$\varphi_1 - \varphi_2 = \int_{1}^{2} \vec{E} \cdot d\vec{l}$

Это означает, что разность потенциалов между двумя точками равна линейному интегралу от вектора напряжённости поля по любому пути, соединяющему эти точки.

Дифференциальная форма связи

Рассмотрим перемещение заряда на бесконечно малое расстояние $d\vec{l}$. Работа поля на этом участке $dA = \vec{F} \cdot d\vec{l} = q\vec{E} \cdot d\vec{l}$. Эта работа совершается за счет убыли потенциальной энергии заряда в поле, $dA = -dW_p$. Потенциал определяется как $\varphi = W_p/q$, поэтому изменение потенциала $d\varphi = dW_p/q = -dA/q$. Подставив выражение для работы, получим:

$d\varphi = -\frac{q\vec{E} \cdot d\vec{l}}{q} = -\vec{E} \cdot d\vec{l}$

Из этого соотношения следует, что напряжённость поля связана со скоростью изменения потенциала в пространстве. Наиболее общая математическая форма этой связи выражается через оператор градиента ($\nabla$):

$\vec{E} = -\text{grad } \varphi$ или в более компактной записи $\vec{E} = -\nabla\varphi$

Знак "минус" отражает тот факт, что вектор напряжённости $\vec{E}$ в каждой точке пространства направлен в сторону наискорейшего убывания потенциала. В декартовой системе координат эта векторная формула эквивалентна трем скалярным уравнениям для проекций вектора $\vec{E}$:

$E_x = -\frac{\partial\varphi}{\partial x}$, $E_y = -\frac{\partial\varphi}{\partial y}$, $E_z = -\frac{\partial\varphi}{\partial z}$

Случай однородного поля

В важном частном случае однородного электростатического поля, где вектор $\vec{E}$ постоянен по модулю и направлению (например, внутри плоского конденсатора), связь между напряжением $\text{U}$ (разностью потенциалов) и напряженностью $\text{E}$ становится очень простой. Если $\text{d}$ — расстояние между двумя точками вдоль силовой линии, то:

$U = |\varphi_1 - \varphi_2| = E \cdot d$

Отсюда модуль напряжённости можно выразить как:

$E = \frac{U}{d}$

Ответ: Связь между напряжённостью $\vec{E}$ и потенциалом $\varphi$ электростатического поля является двусторонней. С одной стороны, напряжённость является мерой скорости изменения потенциала в пространстве и равна градиенту потенциала, взятому со знаком минус: $\vec{E} = -\nabla\varphi$. Вектор $\vec{E}$ всегда направлен в сторону самого быстрого убывания потенциала. С другой стороны, разность потенциалов между двумя точками поля равна линейному интегралу от вектора напряжённости вдоль пути, соединяющего эти точки: $\varphi_1 - \varphi_2 = \int_{1}^{2} \vec{E} \cdot d\vec{l}$.