Номер 2, страница 274 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 2. Заряженный конденсатор ёмкостью С и зарядом q подключили параллельно к другому незаряженному конденсатору такой же ёмкости. Сравните энергию электрического поля системы конденсаторов до и после подключения. Объясните полученный результат.

Решение. Начальная энергия системы конденсаторов равна:

$W_1 = \frac{q^2}{2C} + 0 = \frac{q^2}{2C}$

После параллельного подключения второго конденсатора произойдёт перераспределение зарядов между ними. В соответствии с законом сохранения заряда при одинаковой электроёмкости конденсаторов и одинаковой разности потенциалов на их обкладках будут одинаковыми и заряды на них:

$q_1 = q_2 = q/2.$

После соединения конденсаторов их энергия будет равна:

$W_2 = \frac{q_1^2}{2C} + \frac{q_2^2}{2C} = \frac{(q/2)^2}{2C} + \frac{(q/2)^2}{2C} = \frac{q^2}{4C}.$

Мы видим, что половина энергии электрического поля как бы исчезла: $W_2 = W_1/2$. Уменьшение энергии конденсатора связано с тем, что часть энергии электрического поля пошла на нагрев проводов и излучение электромагнитных волн. Причём результат не зависит от электрического сопротивления проводов.

Дано:

Емкость первого конденсатора: $C_1 = C$
Начальный заряд первого конденсатора: $q_1 = q$
Емкость второго конденсатора: $C_2 = C$
Начальный заряд второго конденсатора: $q_2 = 0$

Найти:

Сравнить энергию электрического поля системы конденсаторов до ($W_1$) и после ($W_2$) подключения. Объяснить полученный результат.

Решение:

1. Начальная энергия системы.
Изначально система состоит из двух конденсаторов, не соединенных друг с другом. Начальная энергия системы $W_1$ равна сумме энергий заряженного и незаряженного конденсаторов. Энергия конденсатора определяется формулой $W = \frac{q^2}{2C}$.
Энергия первого (заряженного) конденсатора: $W_{1,нач} = \frac{q_1^2}{2C_1} = \frac{q^2}{2C}$.
Энергия второго (незаряженного) конденсатора: $W_{2,нач} = \frac{q_2^2}{2C_2} = \frac{0^2}{2C} = 0$.
Полная начальная энергия системы: $W_1 = W_{1,нач} + W_{2,нач} = \frac{q^2}{2C} + 0 = \frac{q^2}{2C}$.

2. Конечная энергия системы.
После параллельного подключения конденсаторов общий заряд $\text{q}$ перераспределяется между ними. Поскольку система электрически изолирована, выполняется закон сохранения заряда. Общий заряд системы до и после соединения одинаков: $Q_{общ} = q_1 + q_2 = q + 0 = q$.
Пусть новые заряды на конденсаторах после соединения будут $q'_1$ и $q'_2$. Тогда $q'_1 + q'_2 = q$.
При параллельном соединении разность потенциалов (напряжение) на обкладках конденсаторов становится одинаковой: $U'_1 = U'_2$.
Используя соотношение $q = CU$, получаем: $\frac{q'_1}{C_1} = \frac{q'_2}{C_2}$.
Так как по условию емкости равны ($C_1 = C_2 = C$), то и заряды на них после соединения станут равными: $q'_1 = q'_2$.
Подставляя это в закон сохранения заряда, получаем: $q'_1 + q'_1 = q \implies 2q'_1 = q \implies q'_1 = \frac{q}{2}$.
Следовательно, $q'_2$ также равен $\frac{q}{2}$.
Конечная энергия системы $W_2$ равна сумме энергий двух конденсаторов с новыми зарядами: $W_2 = \frac{(q'_1)^2}{2C_1} + \frac{(q'_2)^2}{2C_2} = \frac{(q/2)^2}{2C} + \frac{(q/2)^2}{2C} = \frac{q^2/4}{2C} + \frac{q^2/4}{2C} = \frac{q^2}{8C} + \frac{q^2}{8C} = \frac{2q^2}{8C} = \frac{q^2}{4C}$.

3. Сравнение энергий и объяснение результата.
Сравним начальную и конечную энергии: $W_1 = \frac{q^2}{2C}$
$W_2 = \frac{q^2}{4C}$
Найдем их отношение: $\frac{W_2}{W_1} = \frac{q^2/4C}{q^2/2C} = \frac{2C}{4C} = \frac{1}{2}$.
Таким образом, $W_2 = \frac{1}{2}W_1$. Энергия системы после подключения уменьшилась в два раза.

Объяснение: Уменьшение полной энергии системы связано с тем, что при подключении конденсаторов возникает переходный процесс — кратковременный электрический ток, текущий по соединительным проводам, пока заряды не перераспределятся и напряжения не выровняются. Этот процесс сопровождается диссипацией (рассеянием) энергии. Часть начальной энергии электрического поля превращается в другие виды энергии:
1. Теплота: Соединительные провода всегда имеют некоторое электрическое сопротивление $\text{R}$. Протекающий ток $I(t)$ вызывает их нагрев в соответствии с законом Джоуля-Ленца. Энергия, выделившаяся в виде тепла, равна $Q = \int I(t)^2 R dt$.
2. Электромагнитное излучение: Переменный ток в контуре создает в окружающем пространстве переменное электромагнитное поле, которое распространяется в виде электромагнитных волн, уносящих часть энергии.
В итоге, половина начальной энергии системы безвозвратно теряется, превращаясь в тепло и энергию излучения. Важно отметить, что итоговая потерянная энергия ($\frac{W_1}{2} = \frac{q^2}{4C}$) не зависит от величины сопротивления соединительных проводов.

Ответ: Энергия электрического поля системы конденсаторов после подключения ($W_2 = \frac{q^2}{4C}$) в два раза меньше начальной энергии ($W_1 = \frac{q^2}{2C}$). Уменьшение энергии объясняется необратимым переходом части энергии электрического поля в теплоту, выделяющуюся на сопротивлении соединительных проводов, и в энергию электромагнитного излучения во время переходного процесса перераспределения заряда.