Номер 3, страница 273 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

3. Чему равна плотность энергии электрического поля?

Решение

Плотность энергии электрического поля — это физическая величина, равная энергии электростатического поля, заключенной в единице объёма. Она показывает, как энергия распределена в пространстве, где существует электрическое поле. Обозначается обычно буквой $w_e$ и измеряется в Дж/м³ (джоуль на кубический метр).

Для нахождения формулы плотности энергии удобно рассмотреть энергию, запасенную в плоском конденсаторе, поскольку в нём создается практически однородное электрическое поле.

Энергия $\text{W}$, запасенная в заряженном конденсаторе, равна:

$W = \frac{C U^2}{2}$

где $\text{C}$ – электроёмкость конденсатора, а $\text{U}$ – разность потенциалов (напряжение) между его обкладками.

Электроёмкость плоского конденсатора определяется по формуле:

$C = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d}$

Здесь $\epsilon$ – диэлектрическая проницаемость среды между обкладками, $\epsilon_0$ – электрическая постоянная (диэлектрическая проницаемость вакуума), $\text{S}$ – площадь каждой обкладки, $\text{d}$ – расстояние между обкладками.

Напряженность однородного электрического поля $\text{E}$ в конденсаторе связана с напряжением $\text{U}$ соотношением:

$U = E \cdot d$

Подставим выражения для $\text{C}$ и $\text{U}$ в формулу для энергии конденсатора:

$W = \frac{1}{2} \left( \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d} \right) (E \cdot d)^2 = \frac{1}{2} \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d} E^2 d^2 = \frac{\epsilon \epsilon_0 E^2 S d}{2}$

Произведение $S \cdot d$ равно объёму $\text{V}$ пространства между обкладками конденсатора, в котором сосредоточено электрическое поле: $V = S \cdot d$. Тогда энергия поля:

$W = \frac{\epsilon \epsilon_0 E^2 V}{2}$

Плотность энергии $w_e$ – это энергия, приходящаяся на единицу объёма. Чтобы найти её, разделим полную энергию поля $\text{W}$ на объём $\text{V}$, который оно занимает:

$w_e = \frac{W}{V} = \frac{\frac{\epsilon \epsilon_0 E^2 V}{2}}{V} = \frac{\epsilon \epsilon_0 E^2}{2}$

Эта формула, выведенная для однородного поля, справедлива для любой точки произвольного электрического поля.

Формулу также можно записать через вектор электрического смещения (индукции) $\vec{D}$, который в изотропной среде связан с напряженностью поля как $\vec{D} = \epsilon \epsilon_0 \vec{E}$. Используя эту связь, можно получить эквивалентные выражения для плотности энергии:

$w_e = \frac{\vec{E} \cdot \vec{D}}{2}$ или $w_e = \frac{D^2}{2 \epsilon \epsilon_0}$

Таким образом, плотность энергии электрического поля в любой точке прямо пропорциональна квадрату напряжённости электрического поля в этой точке.

Ответ: Плотность энергии электрического поля $w_e$ — это скалярная физическая величина, равная энергии поля в единице объёма. Она определяется по формуле $w_e = \frac{\epsilon \epsilon_0 E^2}{2}$, где $\text{E}$ — модуль вектора напряженности электрического поля, $\epsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды, а $\epsilon_0$ — электрическая постоянная.