Номер 3, страница 94 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Вопросы. Параграф 21. Гравитационная сила. Закон всемирного тяготения. 3. Динамика материальной точки. Механика - номер 3, страница 94.

Условие.

3. Опишите опыт Г. Кавендиша по определению гравитационной постоянной.

Решение.

3. Опыт Генри Кавендиша, проведенный в 1797-1798 годах, был первым экспериментом, в котором удалось измерить гравитационную постоянную $G$ и, как следствие, определить массу и среднюю плотность Земли. Для этого использовались высокочувствительные крутильные весы.

Установка:

Основным элементом установки были крутильные весы. Они представляли собой легкое деревянное коромысло длиной около 1,8 метра, подвешенное на тонкой упругой нити (кварцевой или металлической). На концах коромысла были закреплены два одинаковых маленьких свинцовых шарика массой $m$ каждый.

Рядом с этими маленькими шариками можно было разместить два больших свинцовых шара массой $M$ каждый. Большие шары были закреплены на отдельной поворотной установке, что позволяло изменять их положение относительно маленьких шаров.

Для измерения очень малого угла поворота коромысла Кавендиш использовал оптический метод: на нити было закреплено зеркальце, которое отражало луч света на удаленную шкалу. Даже незначительный поворот коромысла приводил к заметному смещению светового "зайчика" на шкале, что позволяло с высокой точностью измерить угол закручивания нити $\theta$.

Вся установка была помещена в специальный кожух для защиты от потоков воздуха и колебаний температуры.

Проведение опыта и расчеты:

1. Изначально большие шары $M$ располагались так, чтобы их гравитационное воздействие на маленькие шары $m$ было скомпенсировано или отсутствовало. Система находилась в положении равновесия.

2. Затем большие шары подводили близко к маленьким. Сила гравитационного притяжения $F_g$ между каждой парой шаров (большим и маленьким) создавала вращающий момент (момент силы), который закручивал нить. Сила притяжения определяется законом всемирного тяготения:

$F_g = G \frac{Mm}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, а $r$ — расстояние между центрами взаимодействующих шаров.

3. Вращающий момент от двух пар шаров равен $\tau_g = 2 F_g L$, где $2L$ — длина коромысла. Этот момент закручивал нить на угол $\theta$.

4. При закручивании нити в ней возникает упругий момент силы $\tau_у$, стремящийся вернуть коромысло в исходное положение. Этот момент пропорционален углу закручивания: $\tau_у = \kappa \theta$, где $\kappa$ — модуль кручения (торсионный коэффициент) нити.

5. В новом положении равновесия гравитационный момент уравновешивается упругим моментом: $\tau_g = \tau_у$.

$2 G \frac{Mm}{r^2} L = \kappa \theta$

Из этого соотношения можно выразить $G$:

$G = \frac{\kappa \theta r^2}{2MmL}$

6. Главной сложностью было определение модуля кручения нити $\kappa$. Кавендиш нашел его, измерив период $T$ собственных крутильных колебаний коромысла с шариками. Период таких колебаний связан с моментом инерции системы $I$ и модулем кручения $\kappa$ формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{\kappa}}$

Момент инерции коромысла с двумя шариками (пренебрегая массой стержня) $I = 2mL^2$. Отсюда можно выразить $\kappa$:

$\kappa = \frac{4\pi^2 I}{T^2} = \frac{8\pi^2 mL^2}{T^2}$

7. Подставив выражение для $\kappa$ в формулу для $G$, Кавендиш получил окончательное выражение для расчета гравитационной постоянной, не зависящее от упругих свойств нити:

$G = \frac{(\frac{8\pi^2 mL^2}{T^2}) \theta r^2}{2MmL} = \frac{4\pi^2 L r^2 \theta}{M T^2}$

Измерив массы шаров ($M$ и $m$), расстояние между ними ($r$), плечо силы ($L$), угол поворота ($\theta$) и период колебаний ($T$), Кавендиш смог вычислить значение $G$. Полученное им значение было очень близко к современному значению $G \approx 6.67 \times 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$.

Ответ: Опыт Кавендиша основан на измерении силы гравитационного притяжения между двумя парами масс (большими и малыми шарами) с помощью крутильных весов. Гравитационная сила создает вращающий момент, который закручивает упругую нить подвеса на определенный угол. Этот угол измеряется с высокой точностью оптическим методом. Зная параметры установки (массы шаров, расстояния) и измерив угол закручивания нити и период ее собственных колебаний, можно рассчитать значение гравитационной постоянной $G$.