Номер 5, страница 94 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Задачи. Параграф 21. Гравитационная сила. Закон всемирного тяготения. 3. Динамика материальной точки. Механика - номер 5, страница 94.

Условие.

5. Солнце притягивает Луну примерно в 2 раза сильнее, чем Земля (см. задачу 2). Почему Луна является спутником Земли, а не самостоятельной планетой?

Решение.

Вопрос, на первый взгляд, кажется парадоксальным, но имеет четкое физическое объяснение. Для начала проверим утверждение, что Солнце притягивает Луну сильнее, чем Земля.

Дано:

Масса Солнца, $M_С = 1.989 \cdot 10^{30}$ кг
Масса Земли, $M_З = 5.972 \cdot 10^{24}$ кг
Масса Луны, $m_Л = 7.342 \cdot 10^{22}$ кг
Среднее расстояние от Солнца до Луны (примерно равно расстоянию от Солнца до Земли), $R_{С-Л} \approx 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Среднее расстояние от Земли до Луны, $r_{З-Л} \approx 3.844 \cdot 10^8$ м
Гравитационная постоянная, $G \approx 6.674 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Найти:

Объяснить, почему Луна является спутником Земли.

Решение:

1. Расчет сил гравитационного притяжения.
Воспользуемся законом всемирного тяготения $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$.

Сила притяжения между Солнцем и Луной ($F_{С-Л}$):
$F_{С-Л} = G \frac{M_С \cdot m_Л}{R_{С-Л}^2} \approx 6.674 \cdot 10^{-11} \frac{(1.989 \cdot 10^{30}) \cdot (7.342 \cdot 10^{22})}{(1.496 \cdot 10^{11})^2} \approx 4.35 \cdot 10^{20}$ Н.

Сила притяжения между Землей и Луной ($F_{З-Л}$):
$F_{З-Л} = G \frac{M_З \cdot m_Л}{r_{З-Л}^2} \approx 6.674 \cdot 10^{-11} \frac{(5.972 \cdot 10^{24}) \cdot (7.342 \cdot 10^{22})}{(3.844 \cdot 10^8)^2} \approx 1.98 \cdot 10^{20}$ Н.

Найдем отношение этих сил:
$\frac{F_{С-Л}}{F_{З-Л}} = \frac{4.35 \cdot 10^{20}}{1.98 \cdot 10^{20}} \approx 2.2$

Расчет подтверждает, что Солнце действительно притягивает Луну примерно в 2.2 раза сильнее, чем Земля.

2. Объяснение статуса Луны как спутника.
Ключ к разгадке заключается в том, что Солнце с огромной силой притягивает не только Луну, но и саму Землю. Оба этих небесных тела (Земля и Луна) движутся по орбите вокруг Солнца как единая система.

Чтобы понять, почему Луна обращается именно вокруг Земли, нужно рассматривать не абсолютные значения сил, а ускорения, которые эти силы сообщают телам, и, что самое важное, — их относительное движение.

Ускорение, сообщаемое Солнцем Луне: $a_{Л,С} = \frac{F_{С-Л}}{m_Л} \approx \frac{4.35 \cdot 10^{20}}{7.342 \cdot 10^{22}} \approx 0.00593$ м/с².
Ускорение, сообщаемое Солнцем Земле: $a_{З,С} = G \frac{M_С}{R_{С-З}^2} \approx 6.674 \cdot 10^{-11} \frac{1.989 \cdot 10^{30}}{(1.496 \cdot 10^{11})^2} \approx 0.00593$ м/с².

Как видно, Солнце сообщает Земле и Луне практически одинаковые ускорения. Это означает, что Солнце "тащит" за собой всю систему Земля-Луна, заставляя ее двигаться по орбите.

Движение же Луны относительно Земли определяется в первую очередь силой притяжения со стороны Земли. Ускорение, которое Земля сообщает Луне, равно:
$a_{Л,З} = \frac{F_{З-Л}}{m_Л} \approx \frac{1.98 \cdot 10^{20}}{7.342 \cdot 10^{22}} \approx 0.0027$ м/с².

Именно это ускорение, постоянно направленное к центру Земли, искривляет траекторию Луны и заставляет ее обращаться вокруг нашей планеты. Разница в гравитационном воздействии Солнца на Землю и Луну (т.н. приливная сила) слишком мала, чтобы "оторвать" Луну от Земли.

В астрономии есть понятие "сфера Хилла" — это область вокруг небесного тела, в которой его собственная гравитация доминирует над гравитацией более массивного, но удаленного тела (в нашем случае — Солнца) для удержания спутников. Луна находится далеко внутри сферы Хилла Земли (радиус которой составляет около 1.5 млн км, в то время как Луна удалена всего на 0.38 млн км), поэтому она является гравитационно связанной с Землей.

Ответ: Луна является спутником Земли, потому что, хотя гравитационное притяжение Солнца к Луне и больше, Солнце притягивает и Землю с почти такой же силой и ускорением. В результате вся система Земля-Луна обращается вокруг Солнца. Движение же Луны относительно Земли определяется в основном гравитационным полем Земли, так как Луна находится глубоко внутри сферы гравитационного влияния (сферы Хилла) нашей планеты. Именно земное притяжение удерживает Луну на околоземной орбите.