Номер 2, страница 96 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 3. Динамика материальной точки. Параграф 22. Сила тяжести. Задачи - номер 2, страница 96.

Условие.

2. Найдите ускорение свободного падения на поверхности планеты, если её масса равна массе Земли, а радиус в 2 раза меньше.

Решение.

Дано:

Масса планеты: $M_П = M_З$

Радиус планеты: $R_П = \frac{R_З}{2}$

Ускорение свободного падения на Земле: $g_З \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$

Найти:

$g_П$ — ускорение свободного падения на планете.

Решение:

Ускорение свободного падения на поверхности любого сферического небесного тела определяется по формуле, которая выводится из закона всемирного тяготения и второго закона Ньютона:

$g = G \frac{M}{R^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса небесного тела, а $R$ — его радиус.

Запишем эту формулу для Земли:

$g_З = G \frac{M_З}{R_З^2}$

Теперь запишем эту же формулу для неизвестной планеты, используя её массу $M_П$ и радиус $R_П$:

$g_П = G \frac{M_П}{R_П^2}$

Согласно условию задачи, масса планеты равна массе Земли ($M_П = M_З$), а её радиус в 2 раза меньше радиуса Земли ($R_П = \frac{R_З}{2}$). Подставим эти значения в формулу для ускорения свободного падения на планете:

$g_П = G \frac{M_З}{(\frac{R_З}{2})^2}$

Упростим выражение в знаменателе:

$g_П = G \frac{M_З}{\frac{R_З^2}{4}}$

При делении на дробь мы умножаем на перевернутую дробь:

$g_П = 4 \cdot G \frac{M_З}{R_З^2}$

Мы видим, что выражение $G \frac{M_З}{R_З^2}$ в правой части уравнения — это формула для ускорения свободного падения на Земле, $g_З$. Таким образом, мы можем заменить его:

$g_П = 4 \cdot g_З$

Это означает, что ускорение свободного падения на планете в 4 раза больше, чем на Земле.

Теперь найдем его числовое значение, используя известное значение $g_З \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$:

$g_П = 4 \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2 = 39.2 \, \text{м/с}^2$

Ответ: ускорение свободного падения на поверхности планеты равно $39.2 \, \text{м/с}^2$.