Номер 4, страница 96 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 3. Динамика материальной точки. Параграф 22. Сила тяжести. Задачи - номер 4, страница 96.

Условие.

4. Во сколько раз масса Луны меньше массы Земли, если ускорение свободного падения на её поверхности $g_Л = 1,6 \text{ м/с}^2$? Радиус Луны в 3,7 раза меньше радиуса Земли.

Решение.

Дано:

Ускорение свободного падения на Луне $g_Л = 1,6$ м/с²

Соотношение радиусов Земли и Луны: $R_З = 3,7 \cdot R_Л$

Ускорение свободного падения на Земле (справочное значение): $g_З \approx 9,8$ м/с²

Найти:

Во сколько раз масса Луны меньше массы Земли, т.е. найти отношение $\frac{M_З}{M_Л}$.

Решение:

Ускорение свободного падения $g$ на поверхности небесного тела с массой $M$ и радиусом $R$ определяется формулой, которая следует из закона всемирного тяготения:

$g = G \frac{M}{R^2}$, где $G$ — гравитационная постоянная.

Запишем это выражение для Земли (с индексом З) и для Луны (с индексом Л):

$g_З = G \frac{M_З}{R_З^2}$ (1)

$g_Л = G \frac{M_Л}{R_Л^2}$ (2)

Для того чтобы найти отношение масс $\frac{M_З}{M_Л}$, разделим уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{g_З}{g_Л} = \frac{G \frac{M_З}{R_З^2}}{G \frac{M_Л}{R_Л^2}} = \frac{M_З}{M_Л} \cdot \frac{R_Л^2}{R_З^2} = \frac{M_З}{M_Л} \cdot \left(\frac{R_Л}{R_З}\right)^2$

Из полученного выражения выразим искомое отношение масс:

$\frac{M_З}{M_Л} = \frac{g_З}{g_Л} \cdot \left(\frac{R_З}{R_Л}\right)^2$

Из условия задачи нам известно, что $R_З = 3,7 \cdot R_Л$, следовательно, отношение радиусов $\frac{R_З}{R_Л} = 3,7$.

Теперь подставим все известные числовые значения в формулу:

$\frac{M_З}{M_Л} = \frac{9,8}{1,6} \cdot (3,7)^2$

Проведем вычисления:

$\frac{9,8}{1,6} = 6,125$

$(3,7)^2 = 13,69$

$\frac{M_З}{M_Л} = 6,125 \cdot 13,69 = 83,848125$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как исходные данные в задаче имеют такую же точность:

$\frac{M_З}{M_Л} \approx 84$

Таким образом, масса Земли больше массы Луны примерно в 84 раза.

Ответ: масса Луны меньше массы Земли примерно в 84 раза.