Номер 5, страница 96 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Вопросы. Параграф 22. Сила тяжести. 3. Динамика материальной точки. Механика - номер 5, страница 96.

Условие.

5. Найдите в Интернете данные о средней плотности планет и, пользуясь таблицей 8, сделайте вывод о том, как гравитационное ускорение зависит от плотности планеты.

Решение.

Решение

Для того чтобы сделать вывод о зависимости гравитационного ускорения от плотности планеты, необходимо сначала вывести формулу, связывающую эти две величины.

Ускорение свободного падения $g$ на поверхности сферической планеты массой $M$ и радиусом $R$ определяется формулой, следующей из закона всемирного тяготения:
$g = G \frac{M}{R^2}$
где $G$ — гравитационная постоянная.

Массу планеты $M$ можно выразить через её среднюю плотность $\rho$ и объём $V$:
$M = \rho \cdot V$

Принимая форму планеты за шар, её объём $V$ вычисляется по формуле:
$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим выражение для объёма в формулу для массы:
$M = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$

Теперь подставим полученное выражение для массы $M$ в формулу для ускорения свободного падения $g$:
$g = G \frac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}{R^2}$

Сократив $R^2$ в числителе и знаменателе, получаем итоговую зависимость:
$g = \frac{4}{3}\pi G \rho R$

Из этой формулы следует, что ускорение свободного падения на поверхности планеты прямо пропорционально произведению её средней плотности $\rho$ и радиуса $R$. Это означает, что гравитационное ускорение зависит не только от плотности, но и от размеров планеты.

Чтобы подтвердить этот вывод, обратимся к данным о планетах Солнечной системы, которые можно найти в интернете (поскольку таблица 8 не предоставлена, мы воспользуемся общедоступными данными).

Сравним данные для нескольких планет:

Земля:
Средняя плотность $\rho \approx 5514$ кг/м³
Гравитационное ускорение $g \approx 9,81$ м/с²

Юпитер:
Средняя плотность $\rho \approx 1326$ кг/м³
Гравитационное ускорение $g \approx 24,79$ м/с²

Сатурн:
Средняя плотность $\rho \approx 687$ кг/м³
Гравитационное ускорение $g \approx 10,44$ м/с²

Анализируя эти данные, мы видим, что прямой зависимости между плотностью и гравитационным ускорением нет. Например, Юпитер имеет плотность примерно в 4 раза меньше, чем Земля, но ускорение свободного падения на его поверхности в 2,5 раза больше. Сатурн, обладая самой низкой плотностью (меньше плотности воды), имеет гравитационное ускорение даже большее, чем у Земли. Это объясняется тем, что планеты-гиганты (Юпитер, Сатурн) имеют огромный радиус, который вносит существенный вклад в величину гравитационного ускорения, согласно формуле $g \sim \rho R$.

Ответ:

Гравитационное ускорение на поверхности планеты не зависит напрямую только от её средней плотности. Оно прямо пропорционально произведению средней плотности планеты на её радиус ($g \sim \rho R$). Таким образом, планета с относительно небольшой плотностью, но очень большим радиусом может иметь большее гравитационное ускорение, чем более плотная, но меньшая по размерам планета.