Номер 3, страница 94 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 3. Динамика материальной точки. Параграф 21. Гравитационная сила. Закон всемирного тяготения. Задачи - номер 3, страница 94.

Условие.

3. Первый искусственный спутник Земли (был запущен в нашей стране) вращался по орбите радиусом 6950 км. Чему был равен период его обращения?

Решение.

Дано:

Радиус орбиты спутника $R = 6950$ км

Гравитационная постоянная $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Масса Земли $M_З \approx 5,97 \cdot 10^{24}$ кг

Перевод в систему СИ:

$R = 6950 \text{ км} = 6950 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,95 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Период обращения спутника $T$.

Решение:

Движение спутника по круговой орбите происходит под действием силы всемирного тяготения, которая играет роль центростремительной силы. Согласно второму закону Ньютона, мы можем приравнять силу тяготения и произведение массы спутника на его центростремительное ускорение:

$F_т = m \cdot a_ц$

Сила всемирного тяготения, действующая на спутник со стороны Земли, определяется формулой:

$F_т = G \frac{M_З m}{R^2}$

где $m$ — масса спутника.

Центростремительное ускорение спутника, движущегося по окружности радиусом $R$ с линейной скоростью $v$, равно:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$

Приравниваем правые части выражений:

$G \frac{M_З m}{R^2} = m \frac{v^2}{R}$

Сократив массу спутника $m$ и радиус $R$, получим выражение для первой космической скорости на данной высоте:

$v = \sqrt{\frac{G M_З}{R}}$

Период обращения $T$ — это время одного полного оборота по орбите. Он связан со скоростью и длиной орбиты (длиной окружности $2 \pi R$) следующим соотношением:

$T = \frac{2 \pi R}{v}$

Подставим в эту формулу выражение для скорости $v$:

$T = \frac{2 \pi R}{\sqrt{\frac{G M_З}{R}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{R^2 \cdot R}{G M_З}} = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{G M_З}}$

Это третий закон Кеплера для круговой орбиты. Теперь подставим числовые значения в СИ:

$T = 2 \cdot 3,1416 \cdot \sqrt{\frac{(6,95 \cdot 10^6 \text{ м})^3}{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 5,97 \cdot 10^{24} \text{ кг}}}$

$T \approx 6,283 \cdot \sqrt{\frac{3,357 \cdot 10^{20}}{3,982 \cdot 10^{14}}} \text{ с} \approx 6,283 \cdot \sqrt{0,843 \cdot 10^6} \text{ с}$

$T \approx 6,283 \cdot \sqrt{84,3 \cdot 10^4} \text{ с} \approx 6,283 \cdot 9,18 \cdot 10^2 \text{ с} \approx 5768 \text{ с}$

Для удобства восприятия переведем полученное значение в минуты:

$T \approx \frac{5768 \text{ с}}{60 \text{ с/мин}} \approx 96,1$ мин

Ответ: период обращения спутника был равен примерно $5768$ с, или $96,1$ мин.