Номер 4, страница 94 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 3. Динамика материальной точки. Параграф 21. Гравитационная сила. Закон всемирного тяготения. Задачи - номер 4, страница 94.

Условие.

4. Определите радиус орбиты, на которую должен быть выведен спутник Земли, чтобы он постоянно висел над определенной точкой, находящейся на экваторе.

Решение.

4. Чтобы спутник постоянно "висел" над определённой точкой на экваторе, он должен находиться на геостационарной орбите. Главное условие для такой орбиты — угловая скорость вращения спутника вокруг центра Земли должна быть равна угловой скорости вращения Земли вокруг своей оси. Следовательно, период обращения спутника $T$ должен быть равен периоду вращения Земли, то есть звёздным суткам.

Движение спутника по круговой орбите происходит под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает ему необходимое центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, можно записать равенство центростремительной силы и силы тяготения:

$F_c = F_g$

$m \cdot a_c = G \frac{M \cdot m}{r^2}$

где $m$ — масса спутника, $a_c$ — его центростремительное ускорение, $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, а $r$ — радиус орбиты (расстояние от центра Земли до спутника).

Центростремительное ускорение можно выразить через период обращения $T$ по формуле $a_c = \omega^2 r = (\frac{2\pi}{T})^2 r$. Подставим это выражение в уравнение:

$m \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r = G \frac{M \cdot m}{r^2}$

Сократив массу спутника $m$ и преобразовав выражение, получим формулу для вычисления радиуса орбиты $r$:

$r^3 = \frac{G M T^2}{4\pi^2}$

$r = \sqrt[3]{\frac{G M T^2}{4\pi^2}}$

Дано:

Гравитационная постоянная $G \approx 6.674 \cdot 10^{-11} \, \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Масса Земли $M \approx 5.972 \cdot 10^{24} \, \text{кг}$

Период вращения Земли (звёздные сутки) $T_{исх} = 23 \, \text{ч} \, 56 \, \text{мин} \, 4 \, \text{с}$

$T = 23 \cdot 3600 \, \text{с} + 56 \cdot 60 \, \text{с} + 4 \, \text{с} = 86164 \, \text{с}$

Найти:

$r$ — радиус геостационарной орбиты.

Решение:

Подставим известные значения в выведенную формулу:

$r = \sqrt[3]{\frac{(6.674 \cdot 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2) \cdot (5.972 \cdot 10^{24} \, \text{кг}) \cdot (86164 \, \text{с})^2}{4 \cdot (3.14159)^2}}$

Произведем вычисления:

$r \approx \sqrt[3]{\frac{(3.986 \cdot 10^{14} \, \text{м}^3/\text{с}^2) \cdot (7.424 \cdot 10^9 \, \text{с}^2)}{39.478}}$

$r \approx \sqrt[3]{7.495 \cdot 10^{22} \, \text{м}^3}$

$r \approx 4.216 \cdot 10^7 \, \text{м}$

Округлив, получим значение радиуса орбиты. Для наглядности его можно также выразить в километрах:

$r \approx 4.22 \cdot 10^7 \, \text{м} = 42200 \, \text{км}$

Ответ: радиус орбиты, на которую должен быть выведен спутник, составляет приблизительно $4.22 \cdot 10^7 \, \text{м}$.