Номер 5, страница 96 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 3. Динамика материальной точки. Параграф 22. Сила тяжести. Задачи - номер 5, страница 96.

Условие.

5. Зная ускорение свободного падения на поверхности Марса $g_M = 3,7 \, \text{м/с}^2$ и его диаметр $d = 6790 \, \text{км}$, найдите плотность Марса.

Решение.

Дано:

$g_M = 3,7$ м/с²

$d = 6790$ км

$d = 6790 \text{ км} = 6790 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,79 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$\rho$ — ?

Решение:

Ускорение свободного падения $g_M$ на поверхности планеты определяется формулой, следующей из закона всемирного тяготения:

$g_M = G \frac{M}{R^2}$

где $M$ — масса Марса, $R$ — его радиус, а $G$ — гравитационная постоянная, равная примерно $6,67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг².

Массу Марса $M$ можно выразить через его среднюю плотность $\rho$ и объём $V$ по формуле:

$M = \rho \cdot V$

Предполагая, что Марс имеет форму шара, его объём $V$ можно найти как:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Теперь подставим формулу для объёма в формулу для массы, а затем полученное выражение для массы в исходную формулу для ускорения свободного падения:

$M = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$

$g_M = G \frac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3}\pi G \rho R$

Радиус планеты $R$ связан с её диаметром $d$ соотношением $R = d/2$. Подставим это в нашу формулу:

$g_M = \frac{4}{3}\pi G \rho \left(\frac{d}{2}\right) = \frac{2}{3}\pi G \rho d$

Из последнего выражения выразим искомую плотность $\rho$:

$\rho = \frac{3g_M}{2\pi G d}$

Подставим числовые значения и выполним вычисления:

$\rho = \frac{3 \cdot 3,7 \text{ м/с²}}{2 \cdot 3,14 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ Н·м²/кг²} \cdot 6,79 \cdot 10^6 \text{ м}} \approx \frac{11,1}{2,84 \cdot 10^{-3}} \text{ кг/м³} \approx 3903 \text{ кг/м³}$

Учитывая, что наименее точное из предоставленных данных ($g_M = 3,7$ м/с²) имеет две значащие цифры, округлим наш ответ до двух значащих цифр.

$\rho \approx 3,9 \cdot 10^3$ кг/м³

Ответ: $\rho \approx 3,9 \cdot 10^3$ кг/м³.