Номер 3, страница 96 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Задачи. Параграф 22. Сила тяжести. 3. Динамика материальной точки. Механика - номер 3, страница 96.

Условие.

3. Какое расстояние пролетит за первую секунду тело, свободно падающее вблизи поверхности Венеры? Диаметр Венеры $1,21 \cdot 10^4$ км, её средняя плотность $5,2 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$.

Решение.

Дано:

$D_в = 1,21 \cdot 10^4 \text{ км}$

$\rho_в = 5,2 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$

$t = 1 \text{ с}$

$G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$

---

Перевод в СИ:

$D_в = 1,21 \cdot 10^4 \text{ км} = 1,21 \cdot 10^7 \text{ м}$

---

Найти:

$h$ - ?

Решение:

Расстояние, которое пролетит тело при свободном падении без начальной скорости, определяется по формуле:

$h = \frac{g_в t^2}{2}$

где $g_в$ – ускорение свободного падения на поверхности Венеры, $t$ – время падения.

Ускорение свободного падения на поверхности планеты вычисляется по формуле:

$g_в = G \frac{M_в}{R_в^2}$

где $G$ – гравитационная постоянная, $M_в$ – масса Венеры, $R_в$ – радиус Венеры.

Массу Венеры можно выразить через её среднюю плотность $\rho_в$ и объём $V_в$:

$M_в = \rho_в \cdot V_в$

Считая Венеру шаром, её объём равен:

$V_в = \frac{4}{3} \pi R_в^3$

Тогда масса Венеры:

$M_в = \rho_в \cdot \frac{4}{3} \pi R_в^3$

Подставим выражение для массы в формулу ускорения свободного падения:

$g_в = G \frac{\rho_в \cdot \frac{4}{3} \pi R_в^3}{R_в^2} = \frac{4}{3} \pi G \rho_в R_в$

Радиус Венеры равен половине её диаметра:

$R_в = \frac{D_в}{2} = \frac{1,21 \cdot 10^7 \text{ м}}{2} = 0,605 \cdot 10^7 \text{ м} = 6,05 \cdot 10^6 \text{ м}$

Теперь вычислим ускорение свободного падения на Венере:

$g_в = \frac{4}{3} \pi G \rho_в R_в = \frac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 5,2 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 6,05 \cdot 10^6 \text{ м} \approx 8,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Теперь можем найти расстояние, которое пролетит тело за первую секунду падения:

$h = \frac{g_в t^2}{2} = \frac{8,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (1 \text{ с})^2}{2} = \frac{8,8 \text{ м}}{2} = 4,4 \text{ м}$

Ответ: за первую секунду тело, свободно падающее вблизи поверхности Венеры, пролетит расстояние 4,4 м.