Номер 4, страница 151 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 4. Законы сохранения. Параграф 34. Абсолютно неупругое и абсолютно упругое столкновения. Задачи - номер 4, страница 151.

Условие.

4. При радиоактивном (самопроизвольном) делении неподвижное ядро атома может распадаться на две частицы с различной массой $m_1$ и $m_2$. С помощью законов сохранения импульса и энергии покажите, что энергия продуктов распада обратно пропорциональна их массе, т. е. менее массивная частица уносит большую энергию.

Решение.

Дано:

Начальное ядро покоится, $v_0 = 0$
Массы продуктов распада: $m_1$ и $m_2$
Скорости продуктов распада: $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$

Найти:

Доказать, что энергия продуктов распада обратно пропорциональна их массе, то есть $\frac{E_1}{E_2} = \frac{m_2}{m_1}$.

Решение:

Рассмотрим распад неподвижного ядра на две частицы. Поскольку распад происходит самопроизвольно, систему, состоящую из ядра (а затем из его осколков), можно считать замкнутой. Для такой системы выполняется закон сохранения импульса.

Начальный импульс системы равен нулю, так как ядро покоилось:

$\vec{p}_{нач} = 0$

После распада суммарный импульс двух образовавшихся частиц равен:

$\vec{p}_{кон} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2$

Согласно закону сохранения импульса, начальный импульс равен конечному: $\vec{p}_{нач} = \vec{p}_{кон}$.

$0 = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2$

Отсюда следует, что импульсы частиц $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_2$ равны по модулю и противоположны по направлению:

$\vec{p}_1 = - \vec{p}_2$

Следовательно, модули их импульсов равны: $p_1 = p_2$. Обозначим это значение как $p$.

$p = m_1v_1 = m_2v_2$

Теперь рассмотрим кинетическую энергию продуктов распада. Кинетическая энергия частицы $E$ может быть выражена через ее массу $m$ и модуль импульса $p$ по формуле:

$E = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{(mv)^2}{2m} = \frac{p^2}{2m}$

Из этой формулы видно, что при одинаковом модуле импульса кинетическая энергия обратно пропорциональна массе частицы ($E \propto \frac{1}{m}$).

Применим эту формулу для наших двух частиц, учитывая, что их импульсы по модулю равны ($p_1 = p_2 = p$):

$E_1 = \frac{p^2}{2m_1}$

$E_2 = \frac{p^2}{2m_2}$

Найдем отношение кинетических энергий частиц:

$\frac{E_1}{E_2} = \frac{p^2 / (2m_1)}{p^2 / (2m_2)} = \frac{p^2}{2m_1} \cdot \frac{2m_2}{p^2} = \frac{m_2}{m_1}$

Это соотношение доказывает, что кинетические энергии частиц обратно пропорциональны их массам. Если масса одной частицы меньше массы другой (например, $m_1 < m_2$), то ее кинетическая энергия будет больше ($E_1 > E_2$). Таким образом, менее массивная частица уносит большую энергию.

Ответ: Соотношение энергий продуктов распада $\frac{E_1}{E_2} = \frac{m_2}{m_1}$ показывает, что их кинетическая энергия обратно пропорциональна массе. Это означает, что менее массивная частица после распада будет обладать большей кинетической энергией.