Номер 3, страница 151 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 4. Законы сохранения. Параграф 34. Абсолютно неупругое и абсолютно упругое столкновения. Задачи - номер 3, страница 151.

Условие.

3. Какую часть своей первоначальной энергии теряет электрон при центральном упругом соударении с неподвижным атомом? Масса электрона $m_e$ много меньше массы атома $m_a$.

Решение.

Дано

Масса электрона: $m_e$

Масса атома: $m_a$

Начальная скорость электрона: $v_{e1}$

Начальная скорость атома: $v_{a1} = 0$ (неподвижный атом)

Соударение: центральное, упругое

Условие: $m_e \ll m_a$

Найти:

$\frac{\Delta K_e}{K_{e1}}$ - часть первоначальной энергии, которую теряет электрон.

Решение

Рассмотрим систему "электрон-атом". Поскольку соударение является упругим, для этой системы выполняются законы сохранения импульса и кинетической энергии.

Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось, вдоль которой происходит движение:

$m_e v_{e1} + m_a v_{a1} = m_e v_{e2} + m_a v_{a2}$

Так как атом изначально неподвижен ($v_{a1} = 0$), уравнение принимает вид:

$m_e v_{e1} = m_e v_{e2} + m_a v_{a2}$ (1)

Запишем закон сохранения кинетической энергии:

$\frac{1}{2}m_e v_{e1}^2 + \frac{1}{2}m_a v_{a1}^2 = \frac{1}{2}m_e v_{e2}^2 + \frac{1}{2}m_a v_{a2}^2$

С учётом $v_{a1} = 0$:

$m_e v_{e1}^2 = m_e v_{e2}^2 + m_a v_{a2}^2$ (2)

Решим систему уравнений (1) и (2) для нахождения скорости электрона после соударения $v_{e2}$. Для этого выразим $v_{a2}$ из уравнения (1) и подставим в (2).

Из (1): $v_{a2} = \frac{m_e(v_{e1} - v_{e2})}{m_a}$

Перегруппируем уравнение (2): $m_e (v_{e1}^2 - v_{e2}^2) = m_a v_{a2}^2$

$m_e (v_{e1} - v_{e2})(v_{e1} + v_{e2}) = m_a v_{a2}^2$

Подставляем выражение для $v_{a2}$:

$m_e (v_{e1} - v_{e2})(v_{e1} + v_{e2}) = m_a \left( \frac{m_e(v_{e1} - v_{e2})}{m_a} \right)^2 = \frac{m_e^2}{m_a}(v_{e1} - v_{e2})^2$

Так как происходит столкновение, $v_{e1} \neq v_{e2}$, поэтому можно сократить обе части на $m_e(v_{e1} - v_{e2})$:

$v_{e1} + v_{e2} = \frac{m_e}{m_a}(v_{e1} - v_{e2})$

Выразим $v_{e2}$:

$v_{e2}(1 + \frac{m_e}{m_a}) = v_{e1}(\frac{m_e}{m_a} - 1)$

$v_{e2}\frac{m_a + m_e}{m_a} = v_{e1}\frac{m_e - m_a}{m_a}$

$v_{e2} = v_{e1}\frac{m_e - m_a}{m_e + m_a}$

Теперь найдем долю потерянной электроном энергии. Потеря энергии $\Delta K_e = K_{e1} - K_{e2}$, где $K_{e1}$ - начальная, а $K_{e2}$ - конечная кинетическая энергия электрона.

$\frac{\Delta K_e}{K_{e1}} = \frac{K_{e1} - K_{e2}}{K_{e1}} = 1 - \frac{K_{e2}}{K_{e1}} = 1 - \frac{\frac{1}{2}m_e v_{e2}^2}{\frac{1}{2}m_e v_{e1}^2} = 1 - \left(\frac{v_{e2}}{v_{e1}}\right)^2$

Подставим найденное отношение скоростей:

$\frac{\Delta K_e}{K_{e1}} = 1 - \left(\frac{m_e - m_a}{m_e + m_a}\right)^2 = \frac{(m_e + m_a)^2 - (m_e - m_a)^2}{(m_e + m_a)^2}$

Используя формулу разности квадратов в числителе, получаем:

$(m_e + m_a)^2 - (m_e - m_a)^2 = (m_e^2 + 2m_e m_a + m_a^2) - (m_e^2 - 2m_e m_a + m_a^2) = 4m_e m_a$

Таким образом, точная формула для доли потерянной энергии:

$\frac{\Delta K_e}{K_{e1}} = \frac{4m_e m_a}{(m_e + m_a)^2}$

Теперь воспользуемся условием задачи: масса электрона много меньше массы атома ($m_e \ll m_a$). Это означает, что в знаменателе суммой $m_e + m_a$ можно пренебречь слагаемым $m_e$, т.е. $m_e + m_a \approx m_a$.

$\frac{\Delta K_e}{K_{e1}} \approx \frac{4m_e m_a}{(m_a)^2} = \frac{4m_e}{m_a}$

Эта величина представляет собой долю энергии, переданной от электрона атому.

Ответ: Электрон теряет часть своей первоначальной энергии, равную $\frac{4m_e}{m_a}$.