Номер 5, страница 152 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 4. Законы сохранения. Параграф 34. Абсолютно неупругое и абсолютно упругое столкновения. Задачи - номер 5, страница 152.

Условие.

5. Пуля массой $m = 9$ г, летящая со скоростью $v_0 = 600$ м/с, попадает в ящик с песком массой $M = 2$ кг, висящий на верёвке длиной $l = 2$ м, прикреплённой к потолку, и застревает в нём. Какая часть энергии пули была израсходована на деформацию ящика? На какой максимальный угол от вертикали отклонится верёвка в результате выстрела?

Решение.

Дано:

Масса пули, $m = 9 \text{ г} = 0.009 \text{ кг}$
Начальная скорость пули, $v_0 = 600 \text{ м/с}$
Масса ящика, $M = 2 \text{ кг}$
Длина веревки, $l = 2 \text{ м}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

1. Какую часть энергии пули $\frac{\Delta E}{E_{k0}}$ израсходовали на деформацию ящика?
2. Максимальный угол отклонения веревки от вертикали $\alpha$?

Решение:

Задача решается в два этапа. Сначала рассматривается абсолютно неупругое столкновение пули и ящика, во время которого выполняется закон сохранения импульса, но не выполняется закон сохранения механической энергии. Затем рассматривается движение системы "пуля + ящик" после столкновения, для которого выполняется закон сохранения механической энергии.

Какая часть энергии пули была израсходована на деформацию ящика?

В момент столкновения пули с ящиком для системы "пуля + ящик" выполняется закон сохранения импульса. Импульс системы до столкновения равен импульсу пули. После столкновения пуля застревает в ящике, и они движутся вместе с некоторой скоростью $v$.
Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось:
$m v_0 = (m + M) v$
Отсюда скорость системы сразу после столкновения:
$v = \frac{m v_0}{m + M}$

Начальная кинетическая энергия системы (кинетическая энергия пули до столкновения):
$E_{k0} = \frac{m v_0^2}{2}$
Кинетическая энергия системы "пуля + ящик" сразу после столкновения:
$E_k = \frac{(m + M) v^2}{2}$

Энергия, израсходованная на деформацию, нагрев и т.д., равна разности начальной и конечной кинетических энергий:
$\Delta E = E_{k0} - E_k$
Искомая часть энергии — это отношение $\frac{\Delta E}{E_{k0}}$:
$\frac{\Delta E}{E_{k0}} = \frac{E_{k0} - E_k}{E_{k0}} = 1 - \frac{E_k}{E_{k0}} = 1 - \frac{\frac{(m + M) v^2}{2}}{\frac{m v_0^2}{2}} = 1 - \frac{(m + M) v^2}{m v_0^2}$

Подставим в это выражение ранее найденную скорость $v$:
$\frac{\Delta E}{E_{k0}} = 1 - \frac{(m + M)}{m v_0^2} \left( \frac{m v_0}{m + M} \right)^2 = 1 - \frac{(m + M) m^2 v_0^2}{m v_0^2 (m + M)^2} = 1 - \frac{m}{m + M} = \frac{M}{m + M}$

Подставим числовые значения:
$\frac{\Delta E}{E_{k0}} = \frac{2}{0.009 + 2} = \frac{2}{2.009} \approx 0.9955$
Таким образом, почти вся энергия пули (около 99.6%) переходит во внутреннюю энергию (деформация, нагрев).

Ответ: На деформацию ящика было израсходовано $\frac{M}{m+M} \approx 0.996$ или $99.6\%$ начальной энергии пули.

На какой максимальный угол от вертикали отклонится верёвка в результате выстрела?

После соударения система "пуля + ящик" начинает движение вверх, и ее кинетическая энергия переходит в потенциальную. По закону сохранения механической энергии, максимальный подъем на высоту $h$ произойдет, когда вся кинетическая энергия перейдет в потенциальную:
$\frac{(m + M) v^2}{2} = (m + M) g h$
Отсюда максимальная высота подъема:
$h = \frac{v^2}{2g}$

Свяжем высоту подъема $h$ с углом отклонения $\alpha$ и длиной веревки $l$. Из геометрии маятника:
$h = l - l \cos(\alpha) = l(1 - \cos(\alpha))$

Приравнивая выражения для $h$, получим:
$\frac{v^2}{2g} = l(1 - \cos(\alpha))$
Отсюда выразим $\cos(\alpha)$:
$\cos(\alpha) = 1 - \frac{v^2}{2gl}$

Вычислим скорость $v$ после соударения:
$v = \frac{m v_0}{m + M} = \frac{0.009 \text{ кг} \cdot 600 \text{ м/с}}{0.009 \text{ кг} + 2 \text{ кг}} = \frac{5.4}{2.009} \approx 2.688 \text{ м/с}$

Теперь найдем косинус угла:
$\cos(\alpha) = 1 - \frac{(2.688 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 2 \text{ м}} = 1 - \frac{7.225}{39.2} \approx 1 - 0.1843 = 0.8157$

Найдем сам угол, взяв арккосинус от полученного значения:
$\alpha = \arccos(0.8157) \approx 35.35^\circ$

Ответ: Максимальный угол отклонения веревки от вертикали составит примерно $35.4^\circ$.