Номер 3, страница 151 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Вопросы. Параграф 34. Абсолютно неупругое и абсолютно упругое столкновения. 4. Законы сохранения. Механика - номер 3, страница 151.

Условие.

3. Почему в результате абсолютно неупругого удара шаров их суммарная кинетическая энергия уменьшается?

Решение.

3. Почему в результате абсолютно неупругого удара шаров их суммарная кинетическая энергия уменьшается?

Абсолютно неупругий удар — это столкновение двух или более тел, в результате которого они соединяются и продолжают движение как единое целое.

При любом столкновении в замкнутой системе тел выполняется закон сохранения импульса. Однако, в отличие от абсолютно упругого удара, при абсолютно неупругом ударе полная механическая энергия системы не сохраняется.

Уменьшение суммарной кинетической энергии происходит потому, что в процессе столкновения часть этой энергии переходит в другие, немеханические виды. Во время удара тела испытывают пластическую (необратимую) деформацию. Работа, затраченная на эту деформацию, вызывает нагрев тел, то есть превращается в их внутреннюю энергию. Также часть энергии может рассеиваться в виде звуковых волн. Таким образом, кинетическая энергия упорядоченного движения тел как целого перераспределяется в энергию хаотического теплового движения составляющих их частиц (внутреннюю энергию).

Это можно доказать математически.

Дано

Шар 1: масса $m_1$, скорость до удара $\vec{v_1}$.
Шар 2: масса $m_2$, скорость до удара $\vec{v_2}$.
Удар абсолютно неупругий, после удара шары движутся вместе со скоростью $\vec{v_f}$.

Найти

Доказать, что суммарная кинетическая энергия после удара ($E_{k,f}$) меньше суммарной кинетической энергии до удара ($E_{k,i}$), то есть $E_{k,f} < E_{k,i}$ (в случае если $v_1 \neq v_2$).

Решение

1. Запишем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого удара (для простоты рассмотрим одномерное движение вдоль одной оси):
$m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1 + m_2)v_f$

2. Из этого уравнения выразим конечную скорость системы:
$v_f = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2}$

3. Запишем выражение для суммарной кинетической энергии шаров до столкновения:
$E_{k,i} = \frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2}$

4. Запишем выражение для кинетической энергии системы после столкновения:
$E_{k,f} = \frac{(m_1 + m_2)v_f^2}{2}$
Подставим выражение для $v_f$ из пункта 2:
$E_{k,f} = \frac{(m_1 + m_2)}{2} \left( \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2} \right)^2 = \frac{(m_1v_1 + m_2v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}$

5. Найдем разность кинетических энергий до и после удара, то есть потери кинетической энергии $\Delta E_k$:
$\Delta E_k = E_{k,i} - E_{k,f} = \left(\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2}\right) - \frac{(m_1v_1 + m_2v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}$
Приведем к общему знаменателю $2(m_1 + m_2)$:
$\Delta E_k = \frac{(m_1v_1^2 + m_2v_2^2)(m_1 + m_2) - (m_1v_1 + m_2v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}$
Раскроем скобки в числителе:
Числитель = $(m_1^2v_1^2 + m_1m_2v_1^2 + m_1m_2v_2^2 + m_2^2v_2^2) - (m_1^2v_1^2 + 2m_1m_2v_1v_2 + m_2^2v_2^2)$
Числитель = $m_1m_2v_1^2 + m_1m_2v_2^2 - 2m_1m_2v_1v_2$
Вынесем общий множитель $m_1m_2$:
Числитель = $m_1m_2(v_1^2 - 2v_1v_2 + v_2^2) = m_1m_2(v_1 - v_2)^2$

6. Таким образом, потеря кинетической энергии равна:
$\Delta E_k = \frac{m_1m_2}{2(m_1 + m_2)}(v_1 - v_2)^2$

Анализ полученного выражения показывает:
- Массы $m_1$ и $m_2$ всегда положительны, значит, множитель $\frac{m_1m_2}{2(m_1 + m_2)}$ всегда больше нуля.
- Квадрат разности скоростей $(v_1 - v_2)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю только если $v_1 = v_2$, но в этом случае относительного движения тел нет и столкновения не происходит. Если же скорости разные, то $(v_1 - v_2)^2 > 0$.
Следовательно, при любом столкновении $\Delta E_k = E_{k,i} - E_{k,f} > 0$, что означает $E_{k,i} > E_{k,f}$. Кинетическая энергия после удара всегда меньше кинетической энергии до удара. Эта разница $\Delta E_k$ и есть та часть энергии, которая перешла во внутреннюю энергию.

Ответ:

В результате абсолютно неупругого удара суммарная кинетическая энергия шаров уменьшается, потому что часть их начальной механической энергии необратимо расходуется на работу по пластической деформации тел и переходит в другие формы, главным образом во внутреннюю энергию (теплоту).